Encontre uma matriz 2 times 2 A que leva
binom13 e binom14 em binom-25 e binom3-1, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede uma matriz 2times 2 que leva os vetores
binom13mapsto binom-25 e binom14mapsto binom3-1.
O conteúdo é transformação linear em R^2. Vamos supor
A = a & b c & d
e usar as imagens dadas para montar sistemas de equações lineares.

Passo 2

Da condição
A13 =-25
obtemos o sistema
a + 3b = -2, c + 3d = 5

Passo 3

Da condição
A14 =3-1
obtemos
a + 4b = 3, c + 4d = -1
Subtraindo as duas equações de cada bloco, para encontrar b e d:
(a+4b)-(a+3b)=b=3-(-2)=5,
(c+4d)-(c+3d)=d=-1-5=-6

Passo 4

Com b=5 na primeira equação do primeiro sistema,
a + 3cdot5 = -2 Longrightarrow a = -2 - 15 = -17
Com d=-6 na primeira equação do segundo sistema,
c + 3cdot(-6) = 5 Longrightarrow c = 5 + 18 = 23

Resposta

A = -17 & 5 23 & -6 .

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