Questão 4: (24 pontos) Resolva os ítens:
(a) (8 pontos) Verifique se o conjunto x+1, x^2, 2 x-1 de vetores de P2 é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios
,x+1,;x^2,;2x-1subset P2
é linearmente independente. Para isso vamos usar a definição: o conjunto é LI se, na combinação
c1(x+1) + c2x^2 + c3(2x-1) = 0,
os únicos escalares ,c1,c2,c3inR que satisfazem isto são c1=c2=c3=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e agrupando termos, temos
c1(x+1) + c2x^2 + c3(2x-1) = c2x^2 + (c1+2c3)x + (c1 - c3)
Como isso deve ser o polinômio zero, todos os coeficientes devem ser zero.

Passo 3

Igualando coeficientes de x^2, x e termo constante a zero, obtemos o sistema
c2 = 0, c1 + 2c3 = 0, c1 - c3 = 0

Passo 4

Da terceira equação segue c1 = c3. Substituindo na segunda:
c1 + 2c1 = 3c1 = 0 implies c1 = 0
Logo c3 = 0 e também c2 = 0.

Resposta

O único modo de obter o polinômio zero é com c1=c2=c3=0. Portanto o conjunto é linearmente independente.

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