Decide se a aplicação seguinte é linear ou não.
F: R^3 R^2 definida por F(x, y, z)=(|x|, y+z).

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
Fcolon R^3toR^2, F(x,y,z) = l(|x|,;y+zr)
e pede para decidir se F é linear. O conteúdo que vamos usar é a definição de transformação linear, que exige preservação de soma e produto escalar.

Passo 2

Lembrando a definição: uma aplicação F é linear se, para todo vetor u,vinR^3 e todo escalar alphainR, valem
F(u+v)=F(u)+F(v), F(alpha,u)=alpha,F(u)
Basta encontrar um contraexemplo a uma dessas propriedades para mostrar que F não é linear.

Passo 3

Vamos testar a homogeneidade com u=(1,0,0) e alpha=-1. Primeiro,
F(-1cdot u)=F(-1,0,0)=l(|-1|,;0+0r)=(1,0)
Por outro lado,
-1cdot F(u)=-1cdot F(1,0,0)=-1cdotl(|1|,;0+0r)=(-1,0)
Como (1,0)neq(-1,0), a propriedade F(alpha u)=alpha F(u) falha.

Resposta

A aplicação F não é linear.

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