Encontre uma matriz 2 times 2 A que leva
binom2-4 e binom-12 em binom11 e binom13, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede uma matriz 2times2, digamos A, tal que
Abinom2-4=binom11 e Abinom-12=binom13
O conteúdo é Álgebra Linear básica: para achar A escrevemos as equações para as entradas desconhecidas de A e verificamos se há solução. Antes de resolver, devemos checar se os dois vetores de partida são linhares independentes; se não forem, as imagens devem obedecer à mesma dependência para existir solução.

Passo 2

Escrevendo
A=a & b c & d,
impor
A2-4 =2a-4b2c-4d =11
e
A-12 =-a+2b-c+2d =13
gera o sistema
2a-4b=1, 2c-4d=1, -a+2b=1, -c+2d=3

Passo 3

Note que binom-12=-tfrac12binom2-4. Assim, se existisse A linear, teríamos
Abinom-12 =-tfrac12,Abinom2-4 =-tfrac12binom11 =binom-tfrac12-tfrac12
Mas o enunciado exige Abinom-12=binom13, que não coincide com binom-tfrac12-tfrac12. Logo o sistema é inconsistente.

Passo 4

Como os vetores de partida são colineares, mas as imagens não obedecem à mesma colinearidade, não existe mapa linear (nem matriz 2times2) que faça as transformações pedidas.

Resposta

Não existe matriz 2times2 A que satisfaça as condições dadas.

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