Decidir em cada caso se
é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
(todos os números reais) e a operação binária definida por
O que se pede:
- Decidir se
é um grupo (ou seja, verificar as propriedades de fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos). - Se for grupo, decidir se é abeliano (ou seja, se a operação é comutativa).
Passo 2
Fechamento — o que é e como verificar.
- Definição: uma operação
em é fechada se, para quaisquer , vale . - Aqui, para quaisquer
temos
Como a soma e a subtração de reais é real,
. Logo, a operação é fechada em
.
Passo 3
Associatividade — o que é e verificação passo a passo.
- Definição: a operação é associativa se, para todos
,
- Calculemos o lado esquerdo:
- Calculemos o lado direito:
- Como os dois lados são iguais em forma e valor, a operação é associativa.
Passo 4
Elemento neutro (identidade) — como encontrar e checar.
- Definição:
é identidade se e para todo . - Use a condição
. Isso dá
- Subtraindo
dos dois lados obtemos , portanto
- Verificação da propriedade à direita também:
- Conclusão:
é o elemento neutro em . A identidade é única (propriedade geral de identidades em estruturas algébricas).
Passo 5
Inversos — como encontrar para um elemento genérico e verificar.
- Definição: dado
, um inverso (em relação a ) satisfaz e , onde é a identidade. - Como já encontramos
, imponha e resolva para :
- Verificação do outro lado:
- Assim, para cada
o inverso existe e é , que é um número real. Logo todos os elementos têm inverso em . A unicidade do inverso segue das propriedades gerais de grupos.
Passo 6
Conclusão sobre ser grupo.
- Já verificamos: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro
e existência de inversos para todo . Portanto satisfaz todos os axiomas de grupo. Logo é um grupo.
Passo 7
Comutatividade (ser abeliano) — verificação direta e interpretação.
- Definição: o grupo é abeliano se
para todos . - Aqui,
pois a soma real é comutativa. Portanto a operação é comutativa e o grupo é abeliano.
- Observação adicional (intuitiva): a operação
é apenas a soma usual deslocada por 1; há um isomorfismo simples com . Por exemplo, a aplicação
satisfaz
, mostrando que
é estruturalmente igual a
, que é um grupo abeliano.
Resposta
Sim. É um grupo abeliano.