Decidir em cada caso se (G, *) é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(b) G=\mathbb{R}, a * b=a+b-1.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto G=\mathbb{R} (todos os números reais) e a operação binária definida por
a*b = a+b-1\quad\text{para quaisquer }a,b\in\mathbb{R}.
O que se pede:
  • Decidir se (G,*) é um grupo (ou seja, verificar as propriedades de fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos).
  • Se for grupo, decidir se é abeliano (ou seja, se a operação é comutativa).

Passo 2

Fechamento — o que é e como verificar.
  • Definição: uma operação * em G é fechada se, para quaisquer a,b\in G, vale a*b\in G.
  • Aqui, para quaisquer a,b\in\mathbb{R} temos
a*b = a+b-1.
Como a soma e a subtração de reais é real, a+b-1\in\mathbb{R}. Logo, a operação é fechada em G.

Passo 3

Associatividade — o que é e verificação passo a passo.
  • Definição: a operação é associativa se, para todos a,b,c\in G,
(a*b)*c = a*(b*c).
  • Calculemos o lado esquerdo:
(a*b)*c = (a+b-1)*c = (a+b-1)+c-1 = a+b+c-2.
  • Calculemos o lado direito:
a*(b*c) = a*(b+c-1) = a+(b+c-1)-1 = a+b+c-2.
  • Como os dois lados são iguais em forma e valor, a operação é associativa.

Passo 4

Elemento neutro (identidade) — como encontrar e checar.
  • Definição: e\in G é identidade se a*e = a e e*a = a para todo a\in G.
  • Use a condição a*e = a. Isso dá
a+e-1 = a.
  • Subtraindo a dos dois lados obtemos e-1=0, portanto
e = 1.
  • Verificação da propriedade à direita também:
e*a = 1*a = 1 + a - 1 = a.
  • Conclusão: e=1 é o elemento neutro em (\mathbb{R},*). A identidade é única (propriedade geral de identidades em estruturas algébricas).

Passo 5

Inversos — como encontrar para um elemento genérico e verificar.
  • Definição: dado a\in G, um inverso a^{-1} (em relação a *) satisfaz a * a^{-1} = e e a^{-1} * a = e, onde e é a identidade.
  • Como já encontramos e=1, imponha a * b = 1 e resolva para b:
a + b -1 = 1 \quad\Rightarrow\quad b = 2 - a.
  • Verificação do outro lado:
b * a = (2-a) + a - 1 = 1.
  • Assim, para cada a\in\mathbb{R} o inverso existe e é a^{-1} = 2-a, que é um número real. Logo todos os elementos têm inverso em G. A unicidade do inverso segue das propriedades gerais de grupos.

Passo 6

Conclusão sobre ser grupo.
  • Já verificamos: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e=1 e existência de inversos a^{-1}=2-a para todo a\in\mathbb{R}. Portanto (\mathbb{R},*) satisfaz todos os axiomas de grupo. Logo é um grupo.

Passo 7

Comutatividade (ser abeliano) — verificação direta e interpretação.
  • Definição: o grupo é abeliano se a*b = b*a para todos a,b\in G.
  • Aqui,
a*b = a+b-1 = b+a-1 = b*a,
pois a soma real é comutativa. Portanto a operação é comutativa e o grupo é abeliano.
  • Observação adicional (intuitiva): a operação * é apenas a soma usual deslocada por 1; há um isomorfismo simples com (\mathbb{R},+). Por exemplo, a aplicação
\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad \varphi(x)=x-1
satisfaz \varphi(a*b)=\varphi(a)+\varphi(b), mostrando que (\mathbb{R},*) é estruturalmente igual a (\mathbb{R},+), que é um grupo abeliano.

Resposta

Sim. É um grupo abeliano.

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