Decidir em cada caso se
é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(d)
é injetiva
um conjunto não vazio,
. E se
é finito?)
(d)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
onde
é um conjunto não vazio, e a operação
definida por
As perguntas são: (i)
é um grupo? (ii) se for grupo, ele é abeliano? (iii) o que muda quando
é finito?
Passo 2
Lembrando a definição de grupo (passo-a-passo e com explicação): um conjunto
com operação
é grupo se satisfaz quatro propriedades:
- Fechamento: para quaisquer
, tem-se . - Associatividade:
para quaisquer . - Existência de elemento identidade
tal que para todo . - Existência de inversos: para cada
existe tal que .
Vou checar cada uma dessas propriedades para
com a operação composição de funções.
Passo 3
Fechamento: preciso mostrar que a composição de duas funções injetivas
e
é injetiva. Explicando o conceito e provando:
- Definição:
é injetiva se, sempre que , então . - Prova de que a composição preserva injetividade: suponha
e injetivas. Tome tais que . Então . Como é injetiva, disso segue . Como é injetiva, segue . Logo é injetiva.
Portanto: a propriedade de fechamento vale.
Passo 4
Associatividade: composição de funções é associativa. Explicando e mostrando por que isso é trivial:
- Para quaisquer funções
(quando as composições fazem sentido), tem-se
porque ambas as composições aplicadas a um elemento
resultam em
. Isso não depende de as funções serem injetivas, apenas da definição de composição. Assim, a associatividade vale em
.
Passo 5
Elemento identidade: explicar e identificar
- A aplicação identidade
definida por para todo é claramente injetiva (e bijetiva). Além disso, para qualquer ,
Logo
e é o elemento identidade para
.
Passo 6
Inversos: explicar o que é necessário e verificar se todo
tem inverso em
.
- Observação importante (teoria): se uma função
tem um inverso bilateral tal que e , então é bijetiva. Prova curta: se , então , logo é sobrejetiva; se , então é injetiva. Com as duas igualdades é bijetiva. Em particular, ter inverso implica ser bijeção. - Consequência: qualquer função que tenha inverso na operação de composição deve ser bijetiva. Mas nosso conjunto
só exige injetividade, não obrigando sobrejetividade. Portanto se existir em alguma função injetiva que não seja sobrejetiva, essa função não terá inverso em e, assim, não será grupo.
Passo 7
Existência de injetivas não sobrejetivas depende do tipo de
. Vou tratar os dois casos:
Caso geral (
arbitrário, possivelmente infinito):
- Se existir
que seja injetiva mas não sobrejetiva, então não possui inverso em e não é grupo. - Exemplos concretos quando
é infinito: tome (conjunto dos naturais). Defina por
Então
é injetiva (se
então
) mas não é sobrejetiva porque
não tem antecessor na imagem. Logo
mas
não tem inverso em
. Portanto, para conjuntos infinitos como
,
não é grupo.
- Para um conjunto infinito arbitrário existe sempre uma injeção que não é sobrejeção (é fato padrão de teoria dos conjuntos: conjuntos infinitos têm subconjuntos próprios equipolentes a si mesmos), portanto em geral, quando
é infinito, não é grupo.
Caso
finito:
- Suponha
finito e injetiva. Pela injetividade a imagem de tem elementos distintos, mas a imagem é subconjunto de que também tem elementos; portanto a imagem é . Logo é sobrejetiva. Assim injetividade implica bijetividade em conjuntos finitos. - Consequência: quando
é finito, todo elemento de é bijetivo, logo todo tem inverso (a inversa usual de bijeções), que também é bijeção e portanto pertence a . Assim as quatro propriedades do grupo são satisfeitas e é grupo. Este grupo é precisamente o grupo das permutações de , também chamado de grupo simétrico .
Passo 8
Abelianidade no caso finito: explicar quando o grupo de permutações é comutativo e quando não é.
- Para
o grupo tem só um elemento (a identidade), é o grupo trivial; é abeliano. - Para
o grupo tem dois elementos: e a transposição que troca os dois elementos. Qualquer grupo com dois elementos é abeliano (é isomorfo a ). - Para
o grupo simétrico com é não abeliano. Dou um exemplo concreto em para ver que a composição depende da ordem: numerando os elementos por , considere as permutações (transposição de 1 e 2) e . Calculando as composições (lembrando que aplica primeiro depois ):
que são ciclos diferentes; logo
. Assim
é não abeliano, e portanto para todo
o grupo
não é abeliano. Conclusão: quando
é finito,
é abeliano só nos casos
e
; para
é não abeliano.
Resposta
Se
é arbitrário (possivelmente infinito):
não é grupo em geral (ex.: para
existe
injetiva não sobrejetiva, sem inverso).
Se
é finito:
é grupo (é o grupo das bijeções de
, o grupo simétrico
).
Além disso, é abeliano somente se ou
; é não abeliano para
.
Além disso, é abeliano somente se