Decidir em cada caso se (G, *) é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(d) G=\{f: X \rightarrow X: f é injetiva \}\, com \(X um conjunto não vazio, f * g=f \circ g. E se X é finito?)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto G=\{f:X\to X:\;f\\ \text{é injetiva}\}é onde X é um conjunto não vazio, e a operação * definida por
f*g = f\circ g.
As perguntas são: (i) (G,*) é um grupo? (ii) se for grupo, ele é abeliano? (iii) o que muda quando X é finito?

Passo 2

Lembrando a definição de grupo (passo-a-passo e com explicação): um conjunto G com operação * é grupo se satisfaz quatro propriedades:
  1. Fechamento: para quaisquer a,b\in G, tem-se a*b\in G.
  2. Associatividade: (a*b)*c = a*(b*c) para quaisquer a,b,c\in G.
  3. Existência de elemento identidade e\in G tal que e*a=a*e=a para todo a\in G.
  4. Existência de inversos: para cada a\in G existe a^{-1}\in G tal que a*a^{-1}=a^{-1}*a=e.
Vou checar cada uma dessas propriedades para G com a operação composição de funções.

Passo 3

Fechamento: preciso mostrar que a composição de duas funções injetivas f e g é injetiva. Explicando o conceito e provando:
  • Definição: f é injetiva se, sempre que f(x)=f(y), então x=y.
  • Prova de que a composição preserva injetividade: suponha f e g injetivas. Tome x,y\in X tais que (f\circ g)(x)=(f\circ g)(y). Então f(g(x))=f(g(y)). Como f é injetiva, disso segue g(x)=g(y). Como g é injetiva, segue x=y. Logo f\circ g é injetiva.
    Portanto f,g\in G\Rightarrow f\circ g\in G: a propriedade de fechamento vale.

Passo 4

Associatividade: composição de funções é associativa. Explicando e mostrando por que isso é trivial:
  • Para quaisquer funções f,g,h:X\to X (quando as composições fazem sentido), tem-se
(f\circ g)\circ h = f\circ (g\circ h),
porque ambas as composições aplicadas a um elemento x resultam em f(g(h(x))). Isso não depende de as funções serem injetivas, apenas da definição de composição. Assim, a associatividade vale em G.

Passo 5

Elemento identidade: explicar e identificar
  • A aplicação identidade \mathrm{id}_X:X\to X definida por \mathrm{id}_X(x)=x para todo x\in X é claramente injetiva (e bijetiva). Além disso, para qualquer f:X\to X,
\mathrm{id}_X\circ f = f = f\circ \mathrm{id}_X.
Logo \mathrm{id}_X\in G e é o elemento identidade para *.

Passo 6

Inversos: explicar o que é necessário e verificar se todo f\in G tem inverso em G.
  • Observação importante (teoria): se uma função f:X\to X tem um inverso bilateral g tal que f\circ g=\mathrm{id}_X e g\circ f=\mathrm{id}_X, então f é bijetiva. Prova curta: se f\circ g=\mathrm{id}_X, então \mathrm{Im}(f)=X, logo f é sobrejetiva; se g\circ f=\mathrm{id}_X, então f é injetiva. Com as duas igualdades f é bijetiva. Em particular, ter inverso implica ser bijeção.
  • Consequência: qualquer função que tenha inverso na operação de composição deve ser bijetiva. Mas nosso conjunto G só exige injetividade, não obrigando sobrejetividade. Portanto se existir em G alguma função injetiva que não seja sobrejetiva, essa função não terá inverso em G e, assim, G não será grupo.

Passo 7

Existência de injetivas não sobrejetivas depende do tipo de X. Vou tratar os dois casos:
Caso geral ( X arbitrário, possivelmente infinito):
  • Se existir f\in G que seja injetiva mas não sobrejetiva, então f não possui inverso em G e (G,*) não é grupo.
  • Exemplos concretos quando X é infinito: tome X=\mathbb{N} (conjunto dos naturais). Defina f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} por
f(n)=n+1.
Então f é injetiva (se n+1=m+1 então n=m) mas não é sobrejetiva porque 1 não tem antecessor na imagem. Logo f\in G mas f não tem inverso em G. Portanto, para conjuntos infinitos como \mathbb{N}, G não é grupo.
  • Para um conjunto infinito arbitrário existe sempre uma injeção que não é sobrejeção (é fato padrão de teoria dos conjuntos: conjuntos infinitos têm subconjuntos próprios equipolentes a si mesmos), portanto em geral, quando X é infinito, G não é grupo.
Caso X finito:
  • Suponha |X|=n finito e f:X\to X injetiva. Pela injetividade a imagem de f tem n elementos distintos, mas a imagem é subconjunto de X que também tem n elementos; portanto a imagem é X. Logo f é sobrejetiva. Assim injetividade implica bijetividade em conjuntos finitos.
  • Consequência: quando X é finito, todo elemento de G é bijetivo, logo todo f\in G tem inverso f^{-1} (a inversa usual de bijeções), que também é bijeção e portanto pertence a G. Assim as quatro propriedades do grupo são satisfeitas e (G,*) é grupo. Este grupo é precisamente o grupo das permutações de X, também chamado de grupo simétrico S_X.

Passo 8

Abelianidade no caso finito: explicar quando o grupo de permutações é comutativo e quando não é.
  • Para |X|=1 o grupo tem só um elemento (a identidade), é o grupo trivial; é abeliano.
  • Para |X|=2 o grupo tem dois elementos: \mathrm{id}_X e a transposição que troca os dois elementos. Qualquer grupo com dois elementos é abeliano (é isomorfo a \mathbb{Z}_2).
  • Para |X|\ge 3 o grupo simétrico S_n com n\ge 3 é não abeliano. Dou um exemplo concreto em |X|=3 para ver que a composição depende da ordem: numerando os elementos por 1,2,3, considere as permutações (1\,2) (transposição de 1 e 2) e (2\,3). Calculando as composições (lembrando que f\circ g aplica primeiro g depois f):
(1\,2)\circ(2\,3) = (1\;2\;3), \qquad (2\,3)\circ(1\,2) = (1\;3\;2),
que são ciclos diferentes; logo (1\,2)\circ(2\,3)\neq(2\,3)\circ(1\,2). Assim S_3 é não abeliano, e portanto para todo n\ge 3 o grupo S_n não é abeliano. Conclusão: quando X é finito, (G,*) é abeliano só nos casos |X|=1 e |X|=2; para |X|\ge 3 é não abeliano.

Resposta

Se X é arbitrário (possivelmente infinito): (G,*) não é grupo em geral (ex.: para X=\mathbb{N} existe f(n)=n+1 injetiva não sobrejetiva, sem inverso).
Se X é finito: (G,*) é grupo (é o grupo das bijeções de X, o grupo simétrico S_{|X|}).
Além disso, é abeliano somente se |X|=1 ou |X|=2; é não abeliano para |X|\ge 3.

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