Decidir em cada caso se (G, *) é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(e) G=\mathbb{Q}[\sqrt{p}]=\{a+b \sqrt{p}, a, b \in \mathbb{Q}\}, p um número primo, *=+.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto e a operação:
  • O conjunto é G=\mathbb{Q}[\sqrt{p}]=\{a+b\sqrt{p} \mid a,b\in\mathbb{Q}\}, onde p é um número primo.
  • A operação é a adição usual, denotada por * = +.
O que se pede:
  • Decidir se (G,*) é um grupo (isto é, verificar as propriedades exigidas para um grupo).
  • Caso seja grupo, dizer se ele é abeliano (comutativo) ou não.

Passo 2

Lembrete das definições (explicadinho passo a passo):
  • Dizemos que (G,*) é um grupo se, para a operação *, valem as quatro propriedades:
    1. Fechamento: para todo x,y\in G, x*y\in G.
    2. Associatividade: para todo x,y,z\in G, (x*y)*z = x*(y*z).
    3. Elemento neutro: existe e\in G tal que, para todo x\in G, e*x = x*e = x.
    4. Inversos: para todo x\in G, existe x^{-1}\in G tal que x*x^{-1}=x^{-1}*x=e.
  • Um grupo é abeliano se, além disso, a operação for comutativa: para todo x,y\in G, x*y = y*x.
Plano: verificar cada uma das quatro propriedades para (G,+), lembrando que a adição aqui é a adição usual dos números reais (ou racionais estendidos com \sqrt{p}). Vou mostrar explicitamente como cada propriedade funciona para elementos da forma a+b\sqrt{p}.

Passo 3

Pegue dois elementos arbitrários de G:
x = a+b\sqrt{p},\qquad y = c+d\sqrt{p},
com a,b,c,d\in\mathbb{Q}.
A soma é
x+y = (a+b\sqrt{p}) + (c+d\sqrt{p}) = (a+c) + (b+d)\sqrt{p}.
Aqui a+c\in\mathbb{Q} e b+d\in\mathbb{Q} porque a soma de racionais é racional. Portanto x+y é da forma A+B\sqrt{p} com A,B\in\mathbb{Q}, ou seja x+y\in G.
Conclusão do passo: G é fechado sob a adição.

Passo 4

A associatividade da adição é uma propriedade conhecida dos números (reais/racionais): para quaisquer números u,v,w vale (u+v)+w = u+(v+w).
Como cada elemento de G é um número real da forma a+b\sqrt{p}, a adição entre elementos de G é simplesmente a adição usual de números. Logo, para quaisquer x,y,z\in G tem-se
(x+y)+z = x+(y+z).
Explicando por que isso basta: não precisamos expandir em componentes toda vez — a adição em G é a mesma operação já conhecida por ser associativa, então a propriedade se transfere diretamente.

Passo 5

Procuramos um e\in G tal que, para todo x\in G, x+e = x.
Na adição usual o elemento neutro é 0. Verificamos que
0 = 0 + 0\sqrt{p}
é do tipo a+b\sqrt{p} com a=0 e b=0, logo 0\in G. Para todo x=a+b\sqrt{p}\in G,
x+0 = (a+b\sqrt{p}) + (0+0\sqrt{p}) = (a+0) + (b+0)\sqrt{p} = a+b\sqrt{p} = x.
Portanto 0 é o elemento neutro em G.

Passo 6

Dado x=a+b\sqrt{p}\in G, queremos um y\in G tal que x+y=0.
Tomemos y = -a - b\sqrt{p}. Como a,b\in\mathbb{Q}, então -a,-b\in\mathbb{Q}, portanto y\in G. E
x+y = (a+b\sqrt{p}) + (-a - b\sqrt{p}) = (a-a) + (b-b)\sqrt{p} = 0.
Logo y é o inverso aditivo de x. Assim todo elemento de G tem inverso em G.

Passo 7

Juntando os passos anteriores:
  • Fechamento: verificado.
  • Associatividade: herda-se da adição usual.
  • Neutro: 0\in G.
  • Inversos: -a-b\sqrt{p}\in G para a+b\sqrt{p}\in G.
Portanto (G,+) satisfaz todas as axiomas de grupo. Ou seja, (G,*) é um grupo.

Passo 8

Verificamos a comutatividade da adição: para x=a+b\sqrt{p} e y=c+d\sqrt{p},
x+y = (a+c) + (b+d)\sqrt{p} = (c+a) + (d+b)\sqrt{p} = y+x,
porque a soma de números racionais é comutativa. Mais conceitualmente: a operação é a adição usual, que é comutativa, então o grupo é abeliano.

Passo 9

  • Intuitivamente, G=\mathbb{Q}[\sqrt{p}] é um subgrupo aditivo do grupo (\mathbb{R},+) (ou de (\mathbb{Q}(\sqrt{p}),+)) — ou seja, um conjunto fechado sob adição e inversos dentro dos reais.
  • Exemplo concreto: pegue x=\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{4}\sqrt{p} e y=-\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{4}\sqrt{p}. Então x+y = \left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\right) + \left(\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{4}\right)\sqrt{p} = \tfrac{1}{6} + 1\cdot\sqrt{p}\in G,e o inverso de x é -\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{4}\sqrt{p}\in G.
Vai dar certo na prova: para grupos definidos por soma de componentes racionais como este, a verificação é sempre a mesma — fechar soma, neutro 0, inverso pelo sinal negativo, e associatividade/comutatividade vêm da adição usual.

Resposta

Sim: (G,*) é um grupo.
Sim: o grupo é abeliano (comutativo).

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