Decidir em cada caso se
é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(e)
um número primo,
.
(e)
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto e a operação:
- O conjunto é
, onde é um número primo. - A operação é a adição usual, denotada por
.
O que se pede:
- Decidir se
é um grupo (isto é, verificar as propriedades exigidas para um grupo). - Caso seja grupo, dizer se ele é abeliano (comutativo) ou não.
Passo 2
Lembrete das definições (explicadinho passo a passo):
-
Dizemos que
é um grupo se, para a operação , valem as quatro propriedades: - Fechamento: para todo
, . - Associatividade: para todo
, . - Elemento neutro: existe
tal que, para todo , . - Inversos: para todo
, existe tal que .
- Fechamento: para todo
-
Um grupo é abeliano se, além disso, a operação for comutativa: para todo
, .
Plano: verificar cada uma das quatro propriedades para
, lembrando que a adição aqui é a adição usual dos números reais (ou racionais estendidos com
). Vou mostrar explicitamente como cada propriedade funciona para elementos da forma
.
Passo 3
Pegue dois elementos arbitrários de
:
com
.
A soma é
Aqui
e
porque a soma de racionais é racional. Portanto
é da forma
com
, ou seja
.
Conclusão do passo:
é fechado sob a adição.
Passo 4
A associatividade da adição é uma propriedade conhecida dos números (reais/racionais): para quaisquer números
vale
.
Como cada elemento de
é um número real da forma
, a adição entre elementos de
é simplesmente a adição usual de números. Logo, para quaisquer
tem-se
Explicando por que isso basta: não precisamos expandir em componentes toda vez — a adição em
é a mesma operação já conhecida por ser associativa, então a propriedade se transfere diretamente.
Passo 5
Procuramos um
tal que, para todo
,
.
Na adição usual o elemento neutro é
. Verificamos que
é do tipo
com
e
, logo
. Para todo
,
Portanto
é o elemento neutro em
.
Passo 6
Dado
, queremos um
tal que
.
Tomemos
. Como
, então
, portanto
. E
Logo
é o inverso aditivo de
. Assim todo elemento de
tem inverso em
.
Passo 7
Juntando os passos anteriores:
- Fechamento: verificado.
- Associatividade: herda-se da adição usual.
- Neutro:
. - Inversos:
para .
Portanto
satisfaz todas as axiomas de grupo. Ou seja,
é um grupo.
Passo 8
Verificamos a comutatividade da adição: para
e
,
porque a soma de números racionais é comutativa. Mais conceitualmente: a operação é a adição usual, que é comutativa, então o grupo é abeliano.
Passo 9
- Intuitivamente,
é um subgrupo aditivo do grupo (ou de ) — ou seja, um conjunto fechado sob adição e inversos dentro dos reais. - Exemplo concreto: pegue
e . Então e o inverso de é .
Vai dar certo na prova: para grupos definidos por soma de componentes racionais como este, a verificação é sempre a mesma — fechar soma, neutro 0, inverso pelo sinal negativo, e associatividade/comutatividade vêm da adição usual.
Resposta
Sim:
é um grupo.
Sim: o grupo é abeliano (comutativo).
Sim: o grupo é abeliano (comutativo).