Decidir em cada caso se
é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(f)
.
(f)
Passo 1
O enunciado pede: decidir se
é um grupo e, se for, dizer se é abeliano. As informações dadas são:
-
e a operação é (multiplicação). - Por definição,
. - O sufixo
indica que estamos tomando os elementos invertíveis de sob multiplicação (isto é, todos os elementos não nulos da estrutura, presumindo que a estrutura é um campo ou anel com unidade).
O que temos que decidir concretamente:
- Se os axiomas de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e existência de inversos) valem para
com a multiplicação. - Se essa operação é comutativa (ou seja, se o grupo é abeliano).
Passo 2
Lembrando, de forma rápida e clara, os axiomas que preciso verificar para a multiplicação:
- Fechamento: se
então . - Associatividade: para
vale . - Neutro: existe
tal que para todo . - Inversos: para todo
existe tal que .
Além disso, para ser abeliano precisamos mostrarpara todo .
Passo 3
Fechamento sob multiplicação.
Tome dois elementos genéricos de :
Tome dois elementos genéricos de
com
. Então
Os coeficientes
e
são somas e produtos de números racionais, logo pertencem a
. Portanto
tem a forma
com
, ou seja
. Se
são invertíveis (não nulos), o produto não será zero, então
. Assim o conjunto é fechado.
Passo 4
Associatividade e elemento neutro.
- Associatividade: a multiplicação aqui é a multiplicação usual de números (estamos em um subconjunto de
ou em uma extensão de ), e a multiplicação usual é associativa. Logo para vale . - Neutro: o elemento
(que é ) pertence a e é o neutro multiplicativo, pois para todo . Como , temos .
Passo 5
Existência de inversos — fórmula explícita e por que o denominador não some.
Tome , isto é,
. A candidata natural ao inverso é usar a conjugação:
Tome
Para ver que isso funciona, calcule
Resta justificar que o denominador
é não-nulo sempre que
. Se
então
Num anel sem divisores de zero (o caso aqui:
é uma extensão do corpo
, portanto não tem divisores de zero), isso implicaria que
ou
. Se
então
, contradição com
. (Outra maneira de ver: se
e
então
, o que reduz
a
e novamente o caso
corresponderia a
.) Portanto para todo
o número
é diferente de zero, e o quociente acima está bem definido e pertence a
. Assim todo elemento não nulo tem inverso em
.
Passo 6
Comutatividade (ser abeliano).
A multiplicação em é simplesmente a multiplicação usual de elementos da extensão
, que é comutativa: para quaisquer
A multiplicação em
temos
Portanto a operação é comutativa em todo
.
Passo 7
Conclusão lógica das verificações.
- Verificamos fechamento, associatividade, existência de neutro e de inversos para todo elemento de
. Logo é um grupo multiplicativo. - Verificamos também que a multiplicação é comutativa, então o grupo é abeliano.
Resposta
Sim —
é um grupo, e é abeliano.