Decidir em cada caso se (G, *) é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(f) G=\mathbb{Q}[\sqrt{p}]^{*}, *=\cdot.

Passo 1

O enunciado pede: decidir se (G,*) é um grupo e, se for, dizer se é abeliano. As informações dadas são:
  • G=\mathbb{Q}[\sqrt{p}]^{*} e a operação é *=\cdot (multiplicação).
  • Por definição, \mathbb{Q}[\sqrt{p}]=\{a+b\sqrt{p}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}.
  • O sufixo {}^{*} indica que estamos tomando os elementos invertíveis de \mathbb{Q}[\sqrt{p}] sob multiplicação (isto é, todos os elementos não nulos da estrutura, presumindo que a estrutura é um campo ou anel com unidade).
O que temos que decidir concretamente:
  1. Se os axiomas de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e existência de inversos) valem para G com a multiplicação.
  2. Se essa operação é comutativa (ou seja, se o grupo é abeliano).

Passo 2

Lembrando, de forma rápida e clara, os axiomas que preciso verificar para a multiplicação:
  • Fechamento: se x,y\in G então x\cdot y\in G.
  • Associatividade: para x,y,z\in G vale (x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot z).
  • Neutro: existe e\in G tal que e\cdot x=x\cdot e=x para todo x\in G.
  • Inversos: para todo x\in G existe x^{-1}\in G tal que x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=e.
    Além disso, para ser abeliano precisamos mostrar x\cdot y = y\cdot x para todo x,y\in G.

Passo 3

Fechamento sob multiplicação.
Tome dois elementos genéricos de \mathbb{Q}[\sqrt{p}]:
x=a+b\sqrt{p},\qquad y=c+d\sqrt{p},
com a,b,c,d\in\mathbb{Q}. Então
x\cdot y = (a+b\sqrt{p})(c+d\sqrt{p}) = (ac + bd\,p) + (ad+bc)\sqrt{p}.
Os coeficientes ac+bd\,p e ad+bc são somas e produtos de números racionais, logo pertencem a \mathbb{Q}. Portanto x\cdot y tem a forma A+B\sqrt{p} com A,B\in\mathbb{Q}, ou seja x\cdot y\in\mathbb{Q}[\sqrt{p}]. Se x,y são invertíveis (não nulos), o produto não será zero, então x\cdot y\in\mathbb{Q}[\sqrt{p}]^{*}. Assim o conjunto é fechado.

Passo 4

Associatividade e elemento neutro.
  • Associatividade: a multiplicação aqui é a multiplicação usual de números (estamos em um subconjunto de \mathbb{R} ou em uma extensão de \mathbb{Q}), e a multiplicação usual é associativa. Logo para x,y,z\in\mathbb{Q}[\sqrt{p}]^{*} vale (x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot z).
  • Neutro: o elemento 1 (que é 1+0\sqrt{p}) pertence a \mathbb{Q}[\sqrt{p}] e é o neutro multiplicativo, pois 1\cdot x = x\cdot 1 = x para todo x. Como 1\neq 0, temos 1\in\mathbb{Q}[\sqrt{p}]^{*}.

Passo 5

Existência de inversos — fórmula explícita e por que o denominador não some.
Tome x=a+b\sqrt{p}\in\mathbb{Q}[\sqrt{p}]^{*}, isto é, x\neq 0. A candidata natural ao inverso é usar a conjugação:
x^{-1}=\frac{a-b\sqrt{p}}{a^{2}-b^{2}p}.
Para ver que isso funciona, calcule
x\cdot\frac{a-b\sqrt{p}}{a^{2}-b^{2}p} = \frac{(a+b\sqrt{p})(a-b\sqrt{p})}{a^{2}-b^{2}p} = \frac{a^{2}-b^{2}p}{a^{2}-b^{2}p}=1.
Resta justificar que o denominador a^{2}-b^{2}p é não-nulo sempre que x\neq 0. Se a^{2}-b^{2}p=0 então
(a+b\sqrt{p})(a-b\sqrt{p})=0.
Num anel sem divisores de zero (o caso aqui: \mathbb{Q}[\sqrt{p}] é uma extensão do corpo \mathbb{Q}, portanto não tem divisores de zero), isso implicaria que a+b\sqrt{p}=0 ou a-b\sqrt{p}=0. Se a+b\sqrt{p}=0 então x=0, contradição com x\in\mathbb{Q}[\sqrt{p}]^{*}. (Outra maneira de ver: se b\neq0 e a^{2}-b^{2}p=0 então \sqrt{p}=a/b\in\mathbb{Q}, o que reduz \mathbb{Q}[\sqrt{p}] a \mathbb{Q} e novamente o caso a^{2}-b^{2}p=0 corresponderia a x=0.) Portanto para todo x\neq0 o número a^{2}-b^{2}p é diferente de zero, e o quociente acima está bem definido e pertence a \mathbb{Q}[\sqrt{p}]. Assim todo elemento não nulo tem inverso em \mathbb{Q}[\sqrt{p}]^{*}.

Passo 6

Comutatividade (ser abeliano).
A multiplicação em \mathbb{Q}[\sqrt{p}] é simplesmente a multiplicação usual de elementos da extensão \mathbb{Q}(\sqrt{p}), que é comutativa: para quaisquer
x=a+b\sqrt{p},\qquad y=c+d\sqrt{p},
temos
x\cdot y = (ac+bdp) + (ad+bc)\sqrt{p} = y\cdot x.
Portanto a operação é comutativa em todo G.

Passo 7

Conclusão lógica das verificações.
  • Verificamos fechamento, associatividade, existência de neutro e de inversos para todo elemento de G. Logo (\mathbb{Q}[\sqrt{p}]^{*},\cdot) é um grupo multiplicativo.
  • Verificamos também que a multiplicação é comutativa, então o grupo é abeliano.

Resposta

Sim — (\mathbb{Q}[\sqrt{p}]^{*},\cdot) é um grupo, e é abeliano.

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