Decidir em cada caso se (G, *) é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(g) G=\mathcal{P}(X) (partes de X ), com X um conjunto, A * B=A \cup B.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto G=\mathcal{P}(X), ou seja, todas as partes (subconjuntos) de um conjunto X. A operação * é definida por
A * B = A \cup B
para todo A,B\in\mathcal{P}(X).
A pergunta é: \,(\mathcal{P}(X),*) é um grupo? Se for, é abeliano?

Passo 2

Para decidir se (\mathcal{P}(X),*) é um grupo preciso verificar os quatro axiomas de grupo:
  • Fechamento: para todo A,B\in\mathcal{P}(X), deve valer A*B\in\mathcal{P}(X).
  • Associatividade: para todo A,B,C\in\mathcal{P}(X), deve valer (A*B)*C = A*(B*C).
  • Existência de elemento identidade e\in\mathcal{P}(X) tal que e*A = A*e = A para todo A.
  • Existência de inversos: para cada A\in\mathcal{P}(X) deve existir B\in\mathcal{P}(X) com A*B = B*A = e.
Além disso, para ser abeliano precisamos que a operação seja comutativa:
A*B = B*A\quad\text{para todo \(A,B\).}
Vou checar cada axioma um a um, explicando bem cada passo.

Passo 3

Se A\in\mathcal{P}(X) e B\in\mathcal{P}(X) então, por definição, A\subseteq X e B\subseteq X. A união de dois subconjuntos de X também é subconjunto de X, logo
A\cup B \subseteq X.
Portanto A\cup B\in\mathcal{P}(X). Conclusão: a operação * é fechada em \mathcal{P}(X).
Exemplo concreto (para fixar): se X=\{1,2\}, A=\{1\}, B=\{2\}, então A\cup B=\{1,2\}\in\mathcal{P}(X).

Passo 4

Preciso mostrar que para quaisquer A,B,C\in\mathcal{P}(X) vale
(A\cup B)\cup C = A\cup(B\cup C).
Prova por investigação de elementos: tome x qualquer elemento. Então
  • x\in (A\cup B)\cup C ocorre exatamente quando x\in A\cup B ou x\in C. E x\in A\cup B ocorre quando x\in A ou x\in B. Assim x\in (A\cup B)\cup C significa " x\in A ou x\in B ou x\in C".
  • Analogamente, x\in A\cup(B\cup C) significa também " x\in A ou x\in B ou x\in C".
Como a condição de pertença para os dois lados é a mesma para todo x, os conjuntos são iguais. Portanto a união é associativa, isto é, (A*B)*C = A*(B*C).

Passo 5

Procuro e\in\mathcal{P}(X) tal que e\cup A = A para todo A\in\mathcal{P}(X). Conhecendo um pouco de teoria de conjuntos, o candidato natural é o conjunto vazio \varnothing, porque
\varnothing \cup A = A
para todo A. De fato, \varnothing pertence a \mathcal{P}(X). Além disso, a identidade é única: se e' fosse outra identidade teríamos e'=e'\cup\varnothing = e. Conclusão: existe elemento identidade, que é \varnothing.

Passo 6

Agora preciso ver se para cada A\in\mathcal{P}(X) existe B\in\mathcal{P}(X) tal que
A\cup B = \varnothing.
Mas a união de dois conjuntos é vazia exatamente quando ambos são vazios. Ou seja, A\cup B=\varnothing implica A=\varnothing e B=\varnothing. Portanto apenas A=\varnothing possui inverso (que é ela própria). Para qualquer A\neq\varnothing não existe B satisfazendo A\cup B=\varnothing, porque a união contém todos os elementos de A e, se A tem algum elemento, a união não pode ser vazia.
Exemplo concreto: se X=\{1\} e A=\{1\}, não existe B\subseteq X com \{1\}\cup B=\varnothing.
Logo a propriedade “cada elemento tem inverso” falha — não há inversos para conjuntos não vazios.

Passo 7

Como um dos axiomas (existência de inversos para todos os elementos) não é satisfeito, (\mathcal{P}(X),*) não é um grupo.
Quanto à comutatividade: a união é comutativa, pois para todo A,B vale
A\cup B = B\cup A.
Portanto * é comutativa. Isso significa que (\mathcal{P}(X),*) é um monoide comutativo (fechado, associativo e com identidade), mas não é um grupo porque a maioria dos elementos não tem inverso.

Resposta

(\mathcal{P}(X),*) não é um grupo. A operação é comutativa (logo, se fosse grupo seria abeliano), mas elementos A\neq\varnothing não têm inverso.

Exercícios relacionados