Decidir em cada caso se
é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(g)
(partes de
), com
um conjunto,
.
(g)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
, ou seja, todas as partes (subconjuntos) de um conjunto
. A operação
é definida por
para todo
.
A pergunta é:
é um grupo? Se for, é abeliano?
Passo 2
Para decidir se
é um grupo preciso verificar os quatro axiomas de grupo:
- Fechamento: para todo
, deve valer . - Associatividade: para todo
, deve valer . - Existência de elemento identidade
tal que para todo . - Existência de inversos: para cada
deve existir com .
Além disso, para ser abeliano precisamos que a operação seja comutativa:
Vou checar cada axioma um a um, explicando bem cada passo.
Passo 3
Se
e
então, por definição,
e
. A união de dois subconjuntos de
também é subconjunto de
, logo
Portanto
. Conclusão: a operação
é fechada em
.
Exemplo concreto (para fixar): se
,
,
, então
.
Passo 4
Preciso mostrar que para quaisquer
vale
Prova por investigação de elementos: tome
qualquer elemento. Então
-
ocorre exatamente quando ou . E ocorre quando ou . Assim significa " ou ou ". - Analogamente,
significa também " ou ou ".
Como a condição de pertença para os dois lados é a mesma para todo
, os conjuntos são iguais. Portanto a união é associativa, isto é,
.
Passo 5
Procuro
tal que
para todo
. Conhecendo um pouco de teoria de conjuntos, o candidato natural é o conjunto vazio
, porque
para todo
. De fato,
pertence a
. Além disso, a identidade é única: se
fosse outra identidade teríamos
. Conclusão: existe elemento identidade, que é
.
Passo 6
Agora preciso ver se para cada
existe
tal que
Mas a união de dois conjuntos é vazia exatamente quando ambos são vazios. Ou seja,
implica
e
. Portanto apenas
possui inverso (que é ela própria). Para qualquer
não existe
satisfazendo
, porque a união contém todos os elementos de
e, se
tem algum elemento, a união não pode ser vazia.
Exemplo concreto: se
e
, não existe
com
.
Logo a propriedade “cada elemento tem inverso” falha — não há inversos para conjuntos não vazios.
Passo 7
Como um dos axiomas (existência de inversos para todos os elementos) não é satisfeito,
não é um grupo.
Quanto à comutatividade: a união é comutativa, pois para todo
vale
Portanto
é comutativa. Isso significa que
é um monoide comutativo (fechado, associativo e com identidade), mas não é um grupo porque a maioria dos elementos não tem inverso.