Decidir em cada caso se
é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(h)
(partes de
), com
um conjunto,
.
(h)
Passo 1
O enunciado dá:
- O conjunto
é , ou seja, o conjunto de todas as partes (subconjuntos) de um conjunto . - A operação
é definida por
para
.
O que o enunciado pede:
- Decidir se
é um grupo. - Caso seja grupo, dizer se é abeliano ou não.
Passo 2
Recordando (passo-a-passo) o que é preciso verificar para que
seja um grupo:
- (G1) Fechamento: para todos
, deve ter . - (G2) Associatividade: para todos
, deve ter . - (G3) Existência de elemento neutro
tal que, para todo , . - (G4) Existência de inversos: para todo
deve existir tal que .
Vou verificar cada item com detalhes e explicações.
Passo 3
Fechamento (G1).
- Para
(ou seja, ), a interseção é também um subconjunto de . - Portanto
. - Conclusão: a operação está fechada em
.
Explicação curta: interseção de subconjuntos de
sempre dá outro subconjunto de
, simples assim.
Passo 4
Associatividade (G2).
- Proposição: para quaisquer conjuntos
, vale
- Prova elementar (muito usada em provas): seja
um elemento qualquer. Tem-se -
se e somente se e e . - Da mesma forma,
se e somente se e e . - Logo os dois conjuntos têm exatamente os mesmos elementos, portanto são iguais.
-
- Conclusão: a operação é associativa.
Comentário didático: pensar em “e” lógico. Interseção é ‘A e B’, e conjugar com C continua sendo ‘A e B e C’ independente da ordem de parenteses.
Passo 5
Elemento neutro (G3).
- Queremos
tal que para todo . - Observação: para qualquer
vale . Portanto funciona como candidato a neutro. - Verificação: para todo
,
- Conclusão:
é o elemento neutro (único elemento neutro possível).
Breve comentário: é natural — intersectar com todo o universo
não elimina nenhum elemento de
.
Passo 6
Inversos (G4) — análise crítica e argumento que falha em geral.
- Para que
seja inverso de precisamos , isto é
- Mas sempre vale
. Se então , o que força . - Logo, somente o subconjunto
pode ter alguma chance de ter inverso (e, de fato, , então é inverso de si mesmo). - Conclusão: se existir algum
em (ou seja, sempre que não for vazio) esse não tem inverso em . Portanto a propriedade de existência de inversos falha em geral.
Explicação didática: a interseção sempre é contida em cada fator; não há como, ao intersectar com outro conjunto, “aumentar” o conjunto até recuperar
, a menos que o próprio fator seja já
.
Passo 7
Conclusão para caso geral
.
- Se
, então existe ao menos um subconjunto próprio (por exemplo ), e esse não possui inverso conforme o passo anterior. - Portanto para
o sistema não é um grupo (falha G4).
Passo 8
Caso especial
.
- Se
, então (apenas o conjunto vazio). - Verificar axiomas:
- Fechamento:
. - Associatividade: vale trivialmente porque só há um elemento.
- Neutro:
é neutro porque . - Inversos: o único elemento
tem inverso (pois ).
- Fechamento:
- Portanto quando
todas as quatro propriedades se satisfazem — trata-se do grupo trivial com um elemento.
Observação: esse grupo é trivial (um elemento) e, como veremos no passo seguinte, é abeliano.
Passo 9
Comutatividade (se o objeto for grupo).
- A operação intersecção é comutativa: para quaisquer
,
- Logo, se em algum caso
for grupo (o único caso é ), então esse grupo é abeliano.
Resposta
Se
Se