Decidir em cada caso se (G, *) é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(h) G=\mathcal{P}(X) (partes de X ), com X um conjunto, A * B=A \cap B.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O conjunto G é \mathcal{P}(X), ou seja, o conjunto de todas as partes (subconjuntos) de um conjunto X.
  • A operação *) é definida por
A * B = A \cap B
para A,B\in\mathcal{P}(X).
O que o enunciado pede:
  • Decidir se \bigl(\mathcal{P}(X),*\bigr) é um grupo.
  • Caso seja grupo, dizer se é abeliano ou não.

Passo 2

Recordando (passo-a-passo) o que é preciso verificar para que \bigl(\mathcal{P}(X),*\bigr) seja um grupo:
  • (G1) Fechamento: para todos A,B\in\mathcal{P}(X), deve ter A*B\in\mathcal{P}(X).
  • (G2) Associatividade: para todos A,B,C\in\mathcal{P}(X), deve ter (A*B)*C = A*(B*C).
  • (G3) Existência de elemento neutro e\in\mathcal{P}(X) tal que, para todo A, A*e = e*A = A.
  • (G4) Existência de inversos: para todo A\in\mathcal{P}(X) deve existir B\in\mathcal{P}(X) tal que A*B = B*A = e.
Vou verificar cada item com detalhes e explicações.

Passo 3

Fechamento (G1).
  • Para A,B\subseteq X (ou seja, A,B\in\mathcal{P}(X)), a interseção A\cap B é também um subconjunto de X.
  • Portanto A\cap B\in\mathcal{P}(X).
  • Conclusão: a operação está fechada em \mathcal{P}(X).
Explicação curta: interseção de subconjuntos de X sempre dá outro subconjunto de X, simples assim.

Passo 4

Associatividade (G2).
  • Proposição: para quaisquer conjuntos A,B,C, vale
(A\cap B)\cap C = A\cap(B\cap C).
  • Prova elementar (muito usada em provas): seja x um elemento qualquer. Tem-se
    • x\in (A\cap B)\cap C se e somente se x\in A e x\in B e x\in C.
    • Da mesma forma, x\in A\cap(B\cap C) se e somente se x\in A e x\in B e x\in C.
    • Logo os dois conjuntos têm exatamente os mesmos elementos, portanto são iguais.
  • Conclusão: a operação é associativa.
Comentário didático: pensar em “e” lógico. Interseção é ‘A e B’, e conjugar com C continua sendo ‘A e B e C’ independente da ordem de parenteses.

Passo 5

Elemento neutro (G3).
  • Queremos e\in\mathcal{P}(X) tal que A\cap e = A para todo A\subseteq X.
  • Observação: para qualquer A\subseteq X vale A\cap X = A. Portanto X funciona como candidato a neutro.
  • Verificação: para todo A\in\mathcal{P}(X),
A * X = A\cap X = A \quad\text{e}\quad X * A = X\cap A = A.
  • Conclusão: e = X é o elemento neutro (único elemento neutro possível).
Breve comentário: é natural — intersectar com todo o universo X não elimina nenhum elemento de A.

Passo 6

Inversos (G4) — análise crítica e argumento que falha em geral.
  • Para que B seja inverso de A precisamos A*B = A\cap B = e, isto é
A\cap B = X.
  • Mas sempre vale A\cap B \subseteq A. Se A\cap B = X então X \subseteq A, o que força A = X.
  • Logo, somente o subconjunto A=X pode ter alguma chance de ter inverso (e, de fato, X\cap X = X, então X é inverso de si mesmo).
  • Conclusão: se existir algum A\neq X em \mathcal{P}(X) (ou seja, sempre que X não for vazio) esse A não tem inverso em \mathcal{P}(X). Portanto a propriedade de existência de inversos falha em geral.
Explicação didática: a interseção sempre é contida em cada fator; não há como, ao intersectar com outro conjunto, “aumentar” o conjunto até recuperar X, a menos que o próprio fator seja já X.

Passo 7

Conclusão para caso geral X\neq\varnothing.
  • Se X\neq\varnothing, então existe ao menos um subconjunto próprio A\subsetneq X (por exemplo \varnothing), e esse A não possui inverso conforme o passo anterior.
  • Portanto para X\neq\varnothing o sistema \bigl(\mathcal{P}(X),\cap\bigr) não é um grupo (falha G4).

Passo 8

Caso especial X=\varnothing.
  • Se X=\varnothing, então \mathcal{P}(X)=\{\varnothing\} (apenas o conjunto vazio).
  • Verificar axiomas:
    • Fechamento: \varnothing\cap\varnothing=\varnothing\in\{\varnothing\}.
    • Associatividade: vale trivialmente porque só há um elemento.
    • Neutro: X=\varnothing é neutro porque \varnothing\cap\varnothing=\varnothing.
    • Inversos: o único elemento \varnothing tem inverso \varnothing (pois \varnothing\cap\varnothing=\varnothing).
  • Portanto quando X=\varnothing todas as quatro propriedades se satisfazem — trata-se do grupo trivial com um elemento.
Observação: esse grupo é trivial (um elemento) e, como veremos no passo seguinte, é abeliano.

Passo 9

Comutatividade (se o objeto for grupo).
  • A operação intersecção é comutativa: para quaisquer A,B,
A\cap B = B\cap A.
  • Logo, se em algum caso \bigl(\mathcal{P}(X),\cap\bigr) for grupo (o único caso é X=\varnothing), então esse grupo é abeliano.

Resposta

\bigl(\mathcal{P}(X),\cap\bigr) é um grupo se, e somente se, X=\varnothing.
Se X=\varnothing então é o grupo trivial (um elemento) e é abeliano.
Se X\neq\varnothing então não é grupo (nem todos os elementos têm inverso).

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