Decidir em cada caso se (G, *) é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(i) G=\mathcal{P}(X) (partes de X ), com X um conjunto, A * B=A \cup B-A \cap B.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto G=\mathcal{P}(X) (todas as partes de X) e a operação
A * B = A \cup B - A \cap B
para A,B\in\mathcal{P}(X). A pergunta é: decidir se (G,*) é um grupo e, se for, dizer se é abeliano ou não.
Informações relevantes dadas:
  • O universo é X (um conjunto qualquer).
  • Os elementos de G são subconjuntos de X.
  • A operação entre A e B está definida por A * B = A\cup B - A\cap B (diferença de conjuntos usada aqui é \setminus e o resultado é um subconjunto de X).

Passo 2

Interpretação e forma alternativa da operação (é importante entender o que essa operação faz).
Vou reescrever A * B em forma mais familiar. Pela álgebra de conjuntos,
A\cup B - A\cap B = (A\setminus B)\cup(B\setminus A).
Essa união de partes exclusivas é exatamente a chamada diferença simétrica entre A e B, normalmente escrita por A\Delta B. Ou seja,
A * B = A\Delta B = (A\setminus B)\cup(B\setminus A).
Intuição simples: A\Delta B contém os elementos que estão em A ou em B, mas não em ambos.

Passo 3

Fechamento: mostrar que A*B\in\mathcal{P}(X) para todos A,B\in\mathcal{P}(X).
Explicação: A\setminus B e B\setminus A são subconjuntos de X; a união de dois subconjuntos de X também é subconjunto de X. Logo (A\setminus B)\cup(B\setminus A) é um subconjunto de X, isto é, pertence a \mathcal{P}(X). Portanto a operação é fechada em G.

Passo 4

Elemento neutro: procurar e\in G tal que A*e=A para todo A.
Testar e=\varnothing. Usando a definição,
A*\varnothing = (A\setminus\varnothing)\cup(\varnothing\setminus A).
Agora A\setminus\varnothing=A e \varnothing\setminus A=\varnothing, portanto
A*\varnothing = A\cup\varnothing = A.
Assim \varnothing é elemento neutro à direita e à esquerda (já que a fórmula é simétrica). Concluímos que o neutro é \varnothing.

Passo 5

Existência de inversos: para cada A existe B tal que A*B=\varnothing?
Calcule A*A:
A*A = A\Delta A = (A\setminus A)\cup(A\setminus A)=\varnothing\cup\varnothing=\varnothing.
Explicação elementar: nenhum elemento pode pertencer exatamente a uma das duas cópias de A quando são iguais, então o resultado é vazio. Assim A é seu próprio inverso: o inverso de A é A mesmo. Portanto todo elemento tem inverso em G.

Passo 6

Associatividade: mostrar que [(AB)C = A(BC)) para todo A,B,C\in G.
Vou provar associatividade de forma didática usando a ideia de função característica (essa é uma forma muito prática em provas):
Defina a função característica \chi_A:X\to\{0,1\} por
\chi_A(x)=\begin{cases}1,&x\in A,\\\ 0,&x\notin A.\end{cases}
Observação chave: para todo x\in X\], \[\chi_{A\Delta B}(x) \equiv \chi_A(x)+\chi_B(x)\pmod{2},\] ou seja, a presença de \(x em A\Delta B corresponde à soma módulo 2 das características (isso traduz o “ou exclusivo” que é a diferença simétrica).
Agora, para três conjuntos A,B,C, para todo x
\chi_{(A\Delta B)\Delta C}(x) \equiv \big(\chi_A(x)+\chi_B(x)\big)+\chi_C(x)\pmod{2},
e
\chi_{A\Delta(B\Delta C)}(x) \equiv \chi_A(x)+\big(\chi_B(x)+\chi_C(x)\big)\pmod{2}.
Como a adição em \{0,1\} módulo 2 é associativa, os dois lados coincidem para todo x. Logo (A\Delta B)\Delta C = A\Delta(B\Delta C). Isso prova associatividade.
Se preferir uma prova ainda mais elementar: para cada x a lei corresponde ao operador lógico “xor” (ou exclusivo) sobre as sentenças “ x\in A”, “ x\in B”, “ x\in C”; e sabe-se (pode-se confirmar por tabela-verdade) que xor é associativo: (a\oplus b)\oplus c = a\oplus(b\oplus c).

Passo 7

Comutatividade: verificar se A*B=B*A.
Da fórmula A*B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A) é claro que trocar A e B não altera a expressão. Também pelo ponto de vista da característica,
\chi_{A\Delta B}(x)=\chi_A(x)+\chi_B(x)\pmod{2}=\chi_B(x)+\chi_A(x)=\chi_{B\Delta A}(x).
Portanto A*B=B*A para todos A,B. A operação é comutativa.

Passo 8

Reunindo tudo:
  • Fechamento: OK.
  • Associatividade: demonstrada no Passo 6.
  • Elemento neutro: \varnothing (Passo 4).
  • Inversos: cada A é seu próprio inverso, A^{-1}=A (Passo 5).
  • Comutatividade: verificada (Passo 7).
Portanto (\mathcal{P}(X),*) é um grupo e, como a operação é comutativa, é um grupo abeliano. Uma observação útil para provas: esse grupo é isomorfo ao grupo vetorial (\{0,1\}^{X},+) com soma componente a componente modulo 2; cada elemento tem ordem 1 ou 2 (na prática cada não-nulo tem ordem 2).

Resposta

Sim; (\mathcal{P}(X),*) é um grupo e é abeliano.

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