Decidir em cada caso se
é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(i)
(partes de
), com
um conjunto,
.
(i)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
(todas as partes de
) e a operação
para
. A pergunta é: decidir se
é um grupo e, se for, dizer se é abeliano ou não.
Informações relevantes dadas:
- O universo é
(um conjunto qualquer). - Os elementos de
são subconjuntos de . - A operação entre
e está definida por (diferença de conjuntos usada aqui é e o resultado é um subconjunto de ).
Passo 2
Interpretação e forma alternativa da operação (é importante entender o que essa operação faz).
Vou reescrever em forma mais familiar. Pela álgebra de conjuntos,
Vou reescrever
Essa união de partes exclusivas é exatamente a chamada diferença simétrica entre
e
, normalmente escrita por
. Ou seja,
Intuição simples:
contém os elementos que estão em
ou em
, mas não em ambos.
Passo 3
Fechamento: mostrar que
para todos
.
Explicação: e
são subconjuntos de
; a união de dois subconjuntos de
também é subconjunto de
. Logo
é um subconjunto de
, isto é, pertence a
. Portanto a operação é fechada em
.
Explicação:
Passo 4
Elemento neutro: procurar
tal que
para todo
.
Testar . Usando a definição,
Testar
Agora
e
, portanto
Assim
é elemento neutro à direita e à esquerda (já que a fórmula é simétrica). Concluímos que o neutro é
.
Passo 5
Existência de inversos: para cada
existe
tal que
?
Calcule :
Calcule
Explicação elementar: nenhum elemento pode pertencer exatamente a uma das duas cópias de
quando são iguais, então o resultado é vazio. Assim
é seu próprio inverso: o inverso de
é
mesmo. Portanto todo elemento tem inverso em
.
Passo 6
Associatividade: mostrar que [(AB)C = A(BC)) para todo
.
Vou provar associatividade de forma didática usando a ideia de função característica (essa é uma forma muito prática em provas):
Vou provar associatividade de forma didática usando a ideia de função característica (essa é uma forma muito prática em provas):
Defina a função característica
por
Observação chave: para todo
em
corresponde à soma módulo
das características (isso traduz o “ou exclusivo” que é a diferença simétrica).
Agora, para três conjuntos
, para todo
e
Como a adição em
módulo
é associativa, os dois lados coincidem para todo
. Logo
. Isso prova associatividade.
Se preferir uma prova ainda mais elementar: para cada
a lei corresponde ao operador lógico “xor” (ou exclusivo) sobre as sentenças “
”, “
”, “
”; e sabe-se (pode-se confirmar por tabela-verdade) que xor é associativo:
.
Passo 7
Comutatividade: verificar se
.
Da fórmula ) é claro que trocar
e
não altera a expressão. Também pelo ponto de vista da característica,
Da fórmula
Portanto
para todos
. A operação é comutativa.
Passo 8
Reunindo tudo:
- Fechamento: OK.
- Associatividade: demonstrada no Passo 6.
- Elemento neutro:
(Passo 4). - Inversos: cada
é seu próprio inverso, (Passo 5). - Comutatividade: verificada (Passo 7).
Portanto
é um grupo e, como a operação é comutativa, é um grupo abeliano. Uma observação útil para provas: esse grupo é isomorfo ao grupo vetorial
com soma componente a componente modulo
; cada elemento tem ordem
ou
(na prática cada não-nulo tem ordem
).
Resposta
Sim;
é um grupo e é abeliano.