Seja D_{\square} o grupo das simetrias espaciais do quadrado. Dê a tábua de multiplicação de D_{\square}. É abeliano?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Dar a tábua de multiplicação do grupo D_{\square} (o grupo das simetrias espaciais do quadrado).
  • Dizer se D_{\square} é abeliano (isto é, se todo par de elementos comuta).
Informações relevantes (que o enunciado dá ou que são óbvias pela definição do grupo):
  • D_{\square} é o grupo das simetrias (isometrias) de um quadrado no plano; tem 8 elementos.
  • É conhecido que essas simetrias consistem nas rotações por 0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ e em quatro reflexões (sobre eixos que passam por vértices ou pelos pontos médios dos lados).
    Nada mais do enunciado é fornecido; a partir daqui vamos construir a tabela pedida.

Passo 2

Escolhendo notação e listando os elementos (isso facilita fazer a tábua).
  • Denotar e a simetria identidade (rotacão de 0^\circ).
  • Denotar r a rotação do quadrado em 90^\circ no sentido positivo. Então r^0=e,\quad r^1=r,\quad r^2=\text{rotação }180^\circ,\quad r^3=\text{rotação }270^\circ,çãçãe r^4=e.
  • Escolher uma reflexão s (por exemplo reflexão em torno de um eixo vertical ou qualquer eixo). As outras reflexões podem ser obtidas compondo s com rotações: s,\;sr,\;sr^2,\;sr^3. Assim os 8 elementos são \{\,e,\;r,\;r^2,\;r^3,\;s,\;sr,\;sr^2,\;sr^3\,\}.
Explicação didática: qualquer simetria do quadrado é ou uma rotação r^k ou uma reflexão composta com uma rotação (por isso as formas sr^k). Esta escolha de notação é padrão e conveniente para montar a tábua.

Passo 3

Regras de multiplicação fundamentais (fórmulas que vamos usar para preencher a tábua).
  • Compor rotações: para quaisquer inteiros i,j, r^i r^j = r^{i+j}\quad\text{(e aqui interpretamos os expoentes modulo }4\text{, pois }r^4=e).Isso é óbvio: duas rotações se somam em ângulo.
  • Relação entre rotação e reflexão: nas diédricas vale a relação de conjugação que inverte a rotação: s\,r\,s = r^{-1}.A partir disso segue, por manipulação algébrica, a identidade útil r\,s = s\,r^{-1}.Mais geralmente, para qualquer i, r^i s = s r^{-i}.Essa identidade permite reescrever produtos que misturam rotações e reflexões de forma padronizada (por exemplo transformar r^i s em algo do tipo s r^k, que é nossa notação canônica para reflexões).
  • Para produtos entre reflexões do tipo sr^a e sr^b podemos usar (s r^a)(s r^b) = s(r^a s) r^b = s(s r^{-a}) r^b = r^{-a} r^b = r^{b-a}.Ou de maneira mais direta, duas reflexões composas dão uma rotação (isto é, o produto de duas reflexões é sempre uma rotação).
Vou usar essas regras para calcular todos os produtos sistematicamente.

Passo 4

Exemplos de cálculo de entradas da tábua (mostrando o método que será repetido):
  • Produto entre rotações: r\cdot r = r^2, r^3\cdot r^2 = r^{3+2}=r^5=r (porque r^4=e).
  • Produto rotação × reflexão: calcular r\cdot s. Usando r s = s r^{-1} e r^{-1}=r^3 obtemos r\cdot s = s r^3 = sr^3.Em geral, r^i\cdot (s r^j) = (r^i s) r^j = (s r^{-i}) r^j = s r^{j-i}.
  • Produto reflexão × rotação: s\cdot r = s r (já está na forma canônica s r), e por exemplo s\cdot r^2 = s r^2.
  • Produto reflexão × reflexão: calcular (s r^a)(s r^b). Aplicando a fórmula do passo anterior obtemos r^{b-a}. Exemplos concretos: s\cdot s = r^{0}=e,\qquad (s r)(s)=r^{-1}=r^3,\qquad (s r^2)(s r)=r^{1}=r.
Com esses procedimentos é só preencher linha a linha. A seguir eu apresento a tábua completa de multiplicação, tomando as linhas como o fator da esquerda e as colunas como o fator da direita (entrada = linha \times coluna).

Passo 5

Tábua de multiplicação de D_{\square} (linhas = fator da esquerda, colunas = fator da direita):
\begin{array}{c|cccccccc} & e & r & r^2 & r^3 & s & sr & sr^2 & sr^3\\hline e & e & r & r^2 & r^3 & s & sr & sr^2 & sr^3\\\ r & r & r^2 & r^3 & e & sr^3 & s & sr & sr^2\\\ r^2 & r^2 & r^3 & e & r & sr^2 & sr^3 & s & sr\\\ r^3 & r^3 & e & r & r^2 & sr & sr^2 & sr^3 & s\\\ s & s & sr & sr^2& sr^3& e & r & r^2 & r^3\\\ sr & sr & sr^2& sr^3& s & r^3 & e & r & r^2\\\ sr^2& sr^2& sr^3& s & sr & r^2 & r^3 & e & r\\\ sr^3& sr^3& s & sr & sr^2& r & r^2 & r^3 & e \end{array}
Observação rápida sobre leitura: por exemplo a entrada na linha r e coluna s é r\cdot s = sr^3, como calculado no passo anterior.

Passo 6

A resposta à pergunta “É abeliano?”:
  • Basta achar um contraexemplo, isto é, um par x,y tais que x y \neq y x.
  • Tome x=r e y=s. Calculamos r\cdot s = sr^3, \qquad s\cdot r = sr.Como sr^3 \neq sr (são reflexões diferentes), temos r s \neq s r. Portanto a operação não é comutativa em geral.
    Conclusão: D_{\square} não é abeliano.

Resposta

\begin{array}{c|cccccccc} & e & r & r^2 & r^3 & s & sr & sr^2 & sr^3\\hline e & e & r & r^2 & r^3 & s & sr & sr^2 & sr^3\\\ r & r & r^2 & r^3 & e & sr^3 & s & sr & sr^2\\\ r^2 & r^2 & r^3 & e & r & sr^2 & sr^3 & s & sr\\\ r^3 & r^3 & e & r & r^2 & sr & sr^2 & sr^3 & s\\\ s & s & sr & sr^2& sr^3& e & r & r^2 & r^3\\\ sr & sr & sr^2& sr^3& s & r^3 & e & r & r^2\\\ sr^2& sr^2& sr^3& s & sr & r^2 & r^3 & e & r\\\ sr^3& sr^3& s & sr & sr^2& r & r^2 & r^3 & e \end{array}
Não, D_{\square} não é abeliano.

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