Seja
o grupo das simetrias espaciais do quadrado. Dê a tábua de multiplicação de
. É abeliano?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Dar a tábua de multiplicação do grupo
(o grupo das simetrias espaciais do quadrado). - Dizer se
é abeliano (isto é, se todo par de elementos comuta).
Informações relevantes (que o enunciado dá ou que são óbvias pela definição do grupo):
-
é o grupo das simetrias (isometrias) de um quadrado no plano; tem elementos. - É conhecido que essas simetrias consistem nas rotações por
e em quatro reflexões (sobre eixos que passam por vértices ou pelos pontos médios dos lados).
Nada mais do enunciado é fornecido; a partir daqui vamos construir a tabela pedida.
Passo 2
Escolhendo notação e listando os elementos (isso facilita fazer a tábua).
- Denotar
a simetria identidade (rotacão de ). - Denotar
a rotação do quadrado em no sentido positivo. Então e . - Escolher uma reflexão
(por exemplo reflexão em torno de um eixo vertical ou qualquer eixo). As outras reflexões podem ser obtidas compondo com rotações: . Assim os elementos são
Explicação didática: qualquer simetria do quadrado é ou uma rotação
ou uma reflexão composta com uma rotação (por isso as formas
). Esta escolha de notação é padrão e conveniente para montar a tábua.
Passo 3
Regras de multiplicação fundamentais (fórmulas que vamos usar para preencher a tábua).
- Compor rotações: para quaisquer inteiros
, Isso é óbvio: duas rotações se somam em ângulo. - Relação entre rotação e reflexão: nas diédricas vale a relação de conjugação que inverte a rotação:
A partir disso segue, por manipulação algébrica, a identidade útil Mais geralmente, para qualquer , Essa identidade permite reescrever produtos que misturam rotações e reflexões de forma padronizada (por exemplo transformar em algo do tipo , que é nossa notação canônica para reflexões). - Para produtos entre reflexões do tipo
e podemos usar Ou de maneira mais direta, duas reflexões composas dão uma rotação (isto é, o produto de duas reflexões é sempre uma rotação).
Vou usar essas regras para calcular todos os produtos sistematicamente.
Passo 4
Exemplos de cálculo de entradas da tábua (mostrando o método que será repetido):
- Produto entre rotações:
, (porque ). - Produto rotação × reflexão: calcular
. Usando e obtemos Em geral, . - Produto reflexão × rotação:
(já está na forma canônica ), e por exemplo . - Produto reflexão × reflexão: calcular
. Aplicando a fórmula do passo anterior obtemos . Exemplos concretos:
Com esses procedimentos é só preencher linha a linha. A seguir eu apresento a tábua completa de multiplicação, tomando as linhas como o fator da esquerda e as colunas como o fator da direita (entrada = linha
coluna).
Passo 5
Tábua de multiplicação de
(linhas = fator da esquerda, colunas = fator da direita):
Observação rápida sobre leitura: por exemplo a entrada na linha
e coluna
é
, como calculado no passo anterior.
Passo 6
A resposta à pergunta “É abeliano?”:
- Basta achar um contraexemplo, isto é, um par
tais que . - Tome
e . Calculamos Como (são reflexões diferentes), temos . Portanto a operação não é comutativa em geral.
Conclusão:não é abeliano.
Resposta
Não,
não é abeliano.