Seja (G, *) um grupo no qual a * a=e para todo a \in G. Mostre que G é abeliano.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Informação: (G,*) é um grupo com elemento neutro denotado por e.
  • Informação: para todo a\in G vale \;a*a=e.
  • Pedido: mostrar que G é abeliano, isto é, provar que \;a*b=b*a para quaisquer a,b\in G.

Passo 2

Relembrando e deixando explícito o que posso usar (definições e propriedades de grupo que vou aplicar):
  • Um grupo (G,*) satisfaz:
    • existência de elemento neutro e tal que \;e*a=a*e=a para todo a\in G;
    • existência de inverso para cada a\in G: existe a^{-1}\in G com \;a*a^{-1}=a^{-1}*a=e;
    • associatividade: \;(x*y)*z = x*(y*z) para quaisquer x,y,z\in G.
  • Uma consequência imediata da definição: o inverso de um elemento é único (se duas coisas satisfazem a definição de inverso, elas coincidem). Vou usar isso adiante.

Passo 3

Usar a hipótese \;a*a=e para entender o inverso de a.
  • Pela definição de inverso, a^{-1} é o elemento tal que \;a*a^{-1}=e.
  • Mas a hipótese diz exatamente que \;a*a=e.
  • Pela unicidade do inverso, concluímos que \;a^{-1}=a para todo a\in G.
Em palavras: cada elemento é o próprio inverso.

Passo 4

Apresentar e provar a fórmula do inverso do produto, que é uma ferramenta padrão em grupos:
  • Afirmação: para quaisquer a,b\in G vale (a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}.
  • Prova rápida: verificar que b^{-1} * a^{-1} é inverso de a*b. De fato, usando associatividade, (b^{-1} * a^{-1}) * (a * b) = b^{-1} * (a^{-1} * a) * b = b^{-1} * e * b = b^{-1} * b = e.Análogomente, (a * b) * (b^{-1} * a^{-1}) = a * (b * b^{-1}) * a^{-1} = a * e * a^{-1} = a * a^{-1} = e.Assim b^{-1} * a^{-1} é ao mesmo tempo inverso à direita e à esquerda de a*b, logo é o inverso (a*b)^{-1}. Isso prova a fórmula.

Passo 5

Aplicar a hipótese (cada elemento é seu próprio inverso) na fórmula do inverso do produto:
  • Como a^{-1}=a e b^{-1}=b (do Passo 3), a fórmula do Passo 4 dá (a * b)^{-1} = b * a.

Passo 6

Usar novamente a hipótese para relacionar (a*b)^{-1} e a*b:
  • A hipótese vale para todo elemento, portanto vale também para o elemento a*b. Assim (a * b) * (a * b) = e,o que significa que (a*b) é seu próprio inverso; isto é, (a * b)^{-1} = a * b.

Passo 7

Combinar as conclusões dos passos anteriores para obter a comutatividade:
  • Do Passo 5 temos (a*b)^{-1} = b * a.
  • Do Passo 6 temos (a*b)^{-1} = a * b.
  • Igualando as duas expressões do mesmo objeto (a*b)^{-1}, obtemos a * b = b * a.
  • Como a e b eram arbitrários, isso vale para quaisquer elementos de G. Portanto G é abeliano.

Resposta

G é abeliano.

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