Seja
um grupo no qual
para todo
. Mostre que
é abeliano.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
- Informação:
é um grupo com elemento neutro denotado por . - Informação: para todo
vale . - Pedido: mostrar que
é abeliano, isto é, provar que para quaisquer .
Passo 2
Relembrando e deixando explícito o que posso usar (definições e propriedades de grupo que vou aplicar):
- Um grupo
satisfaz: - existência de elemento neutro
tal que para todo ; - existência de inverso para cada
: existe com ; - associatividade:
para quaisquer .
- existência de elemento neutro
- Uma consequência imediata da definição: o inverso de um elemento é único (se duas coisas satisfazem a definição de inverso, elas coincidem). Vou usar isso adiante.
Passo 3
Usar a hipótese
para entender o inverso de
.
- Pela definição de inverso,
é o elemento tal que . - Mas a hipótese diz exatamente que
. - Pela unicidade do inverso, concluímos que
para todo .
Em palavras: cada elemento é o próprio inverso.
Passo 4
Apresentar e provar a fórmula do inverso do produto, que é uma ferramenta padrão em grupos:
- Afirmação: para quaisquer
vale - Prova rápida: verificar que
é inverso de . De fato, usando associatividade, Análogomente, Assim é ao mesmo tempo inverso à direita e à esquerda de , logo é o inverso . Isso prova a fórmula.
Passo 5
Aplicar a hipótese (cada elemento é seu próprio inverso) na fórmula do inverso do produto:
- Como
e (do Passo 3), a fórmula do Passo 4 dá
Passo 6
Usar novamente a hipótese para relacionar
e
:
- A hipótese vale para todo elemento, portanto vale também para o elemento
. Assim o que significa que é seu próprio inverso; isto é,
Passo 7
Combinar as conclusões dos passos anteriores para obter a comutatividade:
- Do Passo 5 temos
. - Do Passo 6 temos
. - Igualando as duas expressões do mesmo objeto
, obtemos - Como
e eram arbitrários, isso vale para quaisquer elementos de . Portanto é abeliano.