Questão 3 Sejam C=(3,1,1) e r a reta dada pela equação vetorial
(x, y, z)=(1,1,1)+t(0,1,0) .
(a) (0,5 \mathrm{pt}) Verifique se A=(1,1+2 \sqrt{3}, 1) é um ponto da reta r.
(b) (1,5 pt ) Encontre um ponto B sobre r tal que o ângulo entre \overrightarrow{C B} e \overrightarrow{C A} seja 60^{\circ}.
(c) (0,5 \mathrm{pt}) Calcule os ângulos do triângulo $A B C.

Passo 1

O enunciado dá o ponto C=(3,1,1) e a reta r com equação vetorial
(x,y,z) = (1,1,1) + t\,(0,1,0).
Pede:
– (a) verificar se A=(1,1+2\sqrt{3},1) pertence a r;
– (b) encontrar um ponto B\in r tal que o ângulo entre \overrightarrow{CB} e \overrightarrow{CA} seja 60^\circ;
– (c) calcular os ângulos do triângulo ABC.
Vamos usar parametrização de reta, produto escalar e norma de vetores para ângulos.

Passo 2

Para (a), um ponto (x,y,z) está em r se existem t tais que
x=1,\quad y=1+t,\quad z=1.
Em A=(1,\,1+2\sqrt{3},\,1) temos x=1 e z=1, e para y basta tomar t=2\sqrt{3} pois 1+t=1+2\sqrt{3}. Logo A\in r.

Passo 3

Para (b), um ponto genérico de r é B(t)=(1,\,1+t,\,1). Então
\overrightarrow{CB}=B(t)-C = (-2,\,t,\,0),\qquad \overrightarrow{CA}=A-C = (-2,\,2\sqrt{3},\,0).
O cosseno do ângulo entre eles é
\cos\theta =\frac{\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA}} {\|\overrightarrow{CB}\|\;\|\overrightarrow{CA}\|} =\frac{(-2)(-2)+(t)(2\sqrt{3})}{\sqrt{4+t^2}\;\sqrt{4+12}} =\frac{4+2\sqrt{3}\,t}{4\sqrt{4+t^2}}.
Queremos \theta=60^\circ, ou seja \cos\theta=\tfrac12. Assim
4+2\sqrt{3}\,t = \tfrac12\cdot4\sqrt{4+t^2} \quad\Longrightarrow\quad 4+2\sqrt{3}\,t = 2\sqrt{4+t^2}.
Elevando ao quadrado e simplificando, verifica-se que a única solução real é t=0. Logo
B = B(0) = (1,\,1,\,1).

Passo 4

Para (c), use os vetores dos lados de ABC:
\overrightarrow{AB}=B-A=(0,\,-2\sqrt{3},\,0),\quad \overrightarrow{BC}=C-B=(2,\,0,\,0),\quad \overrightarrow{CA}=A-C=(-2,\,2\sqrt{3},\,0).
As normas são
\|\overrightarrow{AB}\|=2\sqrt{3},
\|\overrightarrow{BC}\|=2,
\|\overrightarrow{CA}\|=4.
– No vértice C,
\cos\angle ACB=\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{4\cdot2}=\frac{4}{8}=\tfrac12, logo \angle C=60^\circ.
– No vértice A,
\cos\angle BAC=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{(2\sqrt{3})\cdot4} =\frac{12}{8\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}, logo \angle A=30^\circ.
– No vértice B, os vetores \overrightarrow{BA} e \overrightarrow{BC} são ortogonais (produto escalar zero), logo \angle B=90^\circ.

Resposta

(a) A pertence a r.
(b) B=(1,1,1).
(c) \angle A=30^\circ, \angle B=90^\circ, \angle C=60^\circ.

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