Questão 3 Sejam C=(3,1,1) e r a reta dada pela equação vetorial
(x, y, z)=(1,1,1)+t(0,1,0) .
(a) (0,5 \mathrm{pt}) Verifique se A=(1,1+2 \sqrt{3}, 1) é um ponto da reta r.
(b) (1,5 pt ) Encontre um ponto B sobre r tal que o ângulo entre \overrightarrow{C B} e \overrightarrow{C A} seja 60^{\circ}.
(c) (0,5 \mathrm{pt}) Calcule os ângulos do triângulo $A B C.
Passo 1
O enunciado dá o ponto C=(3,1,1) e a reta r com equação vetorial
(x,y,z) = (1,1,1) + t\,(0,1,0).
Pede:
– (a) verificar se A=(1,1+2\sqrt{3},1) pertence a r;
– (b) encontrar um ponto B\in r tal que o ângulo entre \overrightarrow{CB} e \overrightarrow{CA} seja 60^\circ;
– (c) calcular os ângulos do triângulo ABC.
Vamos usar parametrização de reta, produto escalar e norma de vetores para ângulos.
Passo 2
Para (a), um ponto (x,y,z) está em r se existem t tais que
x=1,\quad y=1+t,\quad z=1.
Em A=(1,\,1+2\sqrt{3},\,1) temos x=1 e z=1, e para y basta tomar t=2\sqrt{3} pois 1+t=1+2\sqrt{3}. Logo A\in r.
Passo 3
Para (b), um ponto genérico de r é B(t)=(1,\,1+t,\,1). Então
As normas são \|\overrightarrow{AB}\|=2\sqrt{3}, \|\overrightarrow{BC}\|=2, \|\overrightarrow{CA}\|=4.
– No vértice C, \cos\angle ACB=\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{4\cdot2}=\frac{4}{8}=\tfrac12, logo \angle C=60^\circ.
– No vértice A, \cos\angle BAC=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{(2\sqrt{3})\cdot4}
=\frac{12}{8\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}, logo \angle A=30^\circ.
– No vértice B, os vetores \overrightarrow{BA} e \overrightarrow{BC} são ortogonais (produto escalar zero), logo \angle B=90^\circ.
Resposta
(a) A pertence a r.
(b) B=(1,1,1).
(c) \angle A=30^\circ, \angle B=90^\circ, \angle C=60^\circ.