Para decidirmos se os habitantes de uma ilha são descendentes da civilização A ou B, iremos proceder da seguinte maneira:
i. Selecionamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha, e determinamos a altura média deles;
ii. Se essa altura média for superior a 176, diremos que são descendentes de B; caso contrário, são descendentes de A.
Os parâmetros das alturas das duas civilizações são:
A: mu=175 e sigma=10;
B: mu=177 e sigma=10.
Definamos:
Erro do tipo I: dizer que os habitantes da ilha são de B, quando, na realidade, são de A;
Erro do tipo II: dizer que são de A, quando, na realidade, são de B.
a) Qual a probabilidade do erro do tipo I? E do erro do tipo II?
b) Qual deve ser a regra de decisão se quisermos fixar a probabilidade do erro de tipo I em 5 % ?
Qual a probabilidade do erro de tipo II, nesse caso?
c) Se sigmaA=5, como ficariam as respostas de (b)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pergunta sobre como decidir se os habitantes de uma ilha descendem da civilização A ou B, baseado na altura média de uma amostra de 100 moradores. A gente vai usar conceitos de estatística, especificamente testes de hipóteses e erros tipo I e II. Precisamos calcular as probabilidades desses erros e ajustar nossa regra de decisão para controlar esses erros. Vamos resolver parte a):

Passo 2

Primeiro, vamos entender as características das duas civilizações:
  • Civilização A: Média da altura ( muA) é 175 cm e o desvio padrão ( sigmaA) é 10 cm.
  • Civilização B: Média da altura ( muB) é 177 cm e o desvio padrão ( sigmaB) também é 10 cm.
Estamos coletando uma amostra de 100 moradores e calculando a altura média. Nosso critério é:
  • Se a média > 176 cm → Civilização B.
  • Se a média ≤ 176 cm → Civilização A.

Passo 3

Agora, vamos definir os erros:
  • Erro Tipo I: Concluir que são da Civilização B quando, na verdade, são da A.
  • Erro Tipo II: Concluir que são da Civilização A quando, na verdade, são da B.
Para calcular as probabilidades desses erros, vamos usar a distribuição normal. Como a amostra é grande (n=100), podemos usar o Teorema Central do Limite, que nos diz que a média amostral será normalmente distribuída.

Passo 4

Vamos calcular o Erro Tipo I primeiro. Isso acontece quando a realidade é Civilização A, mas a média da amostra ultrapassa 176 cm.
Primeiro, encontramos o erro padrão da média:
sigmabarx = sigmaraizn = 10raiz100 = 1010 = 1
Agora, calculamos o valor z para 176 cm na distribuição de A:
z = 176 - muAsigmabarx = 176 - 1751 = 1
Usando a tabela da distribuição normal, a probabilidade de z ser maior que 1 é aproximadamente 15,87%. Então, a probabilidade do Erro Tipo I é 15,87%.

Passo 5

Agora, vamos calcular o Erro Tipo II. Isso ocorre quando a realidade é Civilização B, mas a média da amostra fica abaixo ou igual a 176 cm.
Usamos o mesmo erro padrão:
sigmabarx = 1
Calculamos o valor z para 176 cm na distribuição de B:
z = 176 - muBsigmabarx = 176 - 1771 = -1
A probabilidade de z ser menor ou igual a -1 é também aproximadamente 15,87%. Então, a probabilidade do Erro Tipo II é 15,87%.

Resposta

a) A probabilidade do erro do tipo I é aproximadamente 15,87%, e a probabilidade do erro do tipo II também é aproximadamente 15,87%.

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