Se f for uma função contínua de uma variável
com dois máximos relativos num intervalo, então deve haver um mínimo relativo entre eles. Este resultado não se estende a função de duas vairáveis. De fato, mostre que
tem dois máximos relativos, mas nenhum outro ponto crítico.
com dois máximos relativos num intervalo, então deve haver um mínimo relativo entre eles. Este resultado não se estende a função de duas vairáveis. De fato, mostre que
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre funções contínuas e seus pontos de máximo relativo. Especificamente, a ideia é mostrar que, ao contrário das funções de uma variável, que sempre têm um mínimo entre dois máximos, nas funções de duas variáveis isso não acontece necessariamente. Para resolver isso, vamos analisar a função
. Precisamos encontrar os pontos críticos dessa função e verificar se eles são máximos relativos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular as derivadas de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, igualando a zero:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
-
ou seja,
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Igualando a zero:
Podemos simplificar dividindo por 4:
Isso nos dá:
Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos analisar as duas possibilidades que encontramos no Passo 3:
Caso 1:
Substituindo
na equação
, temos:
Isso não é possível porque
sempre é positivo. Portanto, não há pontos críticos neste caso.
Caso 2:
e
Da primeira equação
, substituímos na segunda:
Portanto:
Dividindo ambos os lados por
(considerando
):
Assim,
dá
Passo 6
Agora, encontramos
e
. Vamos encontrar os correspondentes valores de
usando
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 7
Agora, precisamos classificar esses pontos críticos para verificar se são máximos relativos, mínimos ou pontos de sela. Podemos usar o Teste da Segunda Derivada para funções de duas variáveis.
Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular
nos pontos críticos.
Para
:
Como
e
, o ponto
é um máximo relativo.
Para
:
Como
e
, o ponto
é também um máximo relativo.
Resposta
A função
possui dois pontos de máximo relativo nos pontos
e
, e não apresenta outros pontos críticos.