Se f for uma função contínua de uma variável
com dois máximos relativos num intervalo, então deve haver um mínimo relativo entre eles. Este resultado não se estende a função de duas vairáveis. De fato, mostre que f(x, y)=4 x^2 e^y-2 x^4-e^4 y tem dois máximos relativos, mas nenhum outro ponto crítico.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre funções contínuas e seus pontos de máximo relativo. Especificamente, a ideia é mostrar que, ao contrário das funções de uma variável, que sempre têm um mínimo entre dois máximos, nas funções de duas variáveis isso não acontece necessariamente. Para resolver isso, vamos analisar a função f(x, y) = 4x^2e^y - 2x^4 - e^4y . Precisamos encontrar os pontos críticos dessa função e verificar se eles são máximos relativos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular as derivadas de f em relação a x e y e igualá-las a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de f em relação a x :
partial fpartial x = 8x e^y - 8x^3
Agora, igualando a zero:
8x e^y - 8x^3 = 0
Podemos fatorar:
8x(e^y - x^2) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. x = 0
  2. e^y - x^2 = 0 ou seja, e^y = x^2

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de f em relação a y :
partial fpartial y = 4x^2e^y - 4e^4y
Igualando a zero:
4x^2e^y - 4e^4y = 0
Podemos simplificar dividindo por 4:
x^2e^y - e^4y = 0
Isso nos dá:
x^2e^y = e^4y
Ou seja:
x^2 = e^3y

Passo 5

Agora, vamos analisar as duas possibilidades que encontramos no Passo 3:
Caso 1:
Substituindo na equação , temos:
Isso não é possível porque sempre é positivo. Portanto, não há pontos críticos neste caso.
Caso 2: e
Da primeira equação , substituímos na segunda:
Portanto:
Dividindo ambos os lados por (considerando ):
Assim,

Passo 6

Agora, encontramos x = 1 e x = -1 . Vamos encontrar os correspondentes valores de y usando e^y = x^2 :
Para x = 1 :
e^y = 1^2 = 1 implies y = 0
Para x = -1 :
e^y = (-1)^2 = 1 implies y = 0
Então, os pontos críticos são (1, 0) e (-1, 0) .

Passo 7

Agora, precisamos classificar esses pontos críticos para verificar se são máximos relativos, mínimos ou pontos de sela. Podemos usar o Teste da Segunda Derivada para funções de duas variáveis.
Calculamos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 8e^y - 24x^2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 4x^2e^y - 16e^4y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 8x e^y
O discriminante é dado por:
D = fxx fyy - (fxy)^2
Vamos calcular D nos pontos críticos.
Para (1, 0) :
fxx = 8e^0 - 24(1)^2 = 8 - 24 = -16
fyy = 4(1)^2 e^0 - 16e^0 = 4 - 16 = -12
fxy = 8(1) e^0 = 8
D = (-16)(-12) - (8)^2 = 192 - 64 = 128 > 0
Como D > 0 e fxx < 0 , o ponto (1, 0) é um máximo relativo.
Para (-1, 0) :
fxx = 8e^0 - 24(-1)^2 = 8 - 24 = -16
fyy = 4(-1)^2 e^0 - 16e^0 = 4 - 16 = -12
fxy = 8(-1) e^0 = -8
D = (-16)(-12) - (-8)^2 = 192 - 64 = 128 > 0
Como D > 0 e fxx < 0 , o ponto (-1, 0) é também um máximo relativo.

Resposta

A função f(x, y) = 4x^2e^y - 2x^4 - e^4y possui dois pontos de máximo relativo nos pontos (1, 0) e (-1, 0) , e não apresenta outros pontos críticos.

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