Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, da função
sujeita aos vínculos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para otimizar a função
sujeita aos vínculos lineares
Essa é uma situação clássica para usar multiplicadores de Lagrange. A interseção das duas planícies é uma reta em
, sobre a qual
é convexa. Logo, haverá um único mínimo e não haverá máximo (a reta é ilimitada e
nela).
Passo 2
Definimos o Lagrangiano
As condições de estacionaridade
dão
Passo 3
Dessas igualdades isolamos
e aplicamos os vínculos
para obter um sistema em
e
.
Passo 4
Substituindo nas restrições, chega-se a
isto é,
Subtraindo a primeira da segunda vem
e, em seguida,
.
Passo 5
Com esses valores, as coordenadas críticas são
Então
Não existe máximo global porque a reta de interseção das planícies é ilimitada e, ao percorrê-la,
tende a
.
Resposta
Mínimo
em
.
Não existe valor máximo (vai a ao longo da reta).
Não existe valor máximo (vai a