Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, da função f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 sujeita aos vínculos x+y+z=1 e x+2 y+3 z=6.

Passo 1

O enunciado pede para otimizar a função
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
sujeita aos vínculos lineares
x+y+z=1, x+2y+3z=6
Essa é uma situação clássica para usar multiplicadores de Lagrange. A interseção das duas planícies é uma reta em R^3, sobre a qual f é convexa. Logo, haverá um único mínimo e não haverá máximo (a reta é ilimitada e fto+infty nela).

Passo 2

Definimos o Lagrangiano
L = x^2+y^2+z^2 - lambda,(x+y+z-1) - mu,(x+2y+3z-6)
As condições de estacionaridade nabla L=0 dão
2x = lambda + mu, 2y = lambda + 2mu, 2z = lambda + 3mu

Passo 3

Dessas igualdades isolamos
x=lambda+mu2, y=lambda+2mu2, z=lambda+3mu2,
e aplicamos os vínculos
x+y+z=1, x+2y+3z=6
para obter um sistema em lambda e mu.

Passo 4

Substituindo nas restrições, chega-se a
3lambda+6mu2=1, 6lambda+14mu2=6,
isto é,
3lambda+6mu=2, 3lambda+7mu=6
Subtraindo a primeira da segunda vem mu=4 e, em seguida, lambda=-tfrac223.

Passo 5

Com esses valores, as coordenadas críticas são
x=-tfrac53, y=tfrac13, z=tfrac73
Então
fmin =l(-tfrac53r)^2 +l(tfrac13r)^2 +l(tfrac73r)^2 =25+1+499 =759 =253
Não existe máximo global porque a reta de interseção das planícies é ilimitada e, ao percorrê-la, f tende a +infty.

Resposta

Mínimo ,fmin = tfrac253 em l(x,y,zr)=l(-tfrac53,,tfrac13,,tfrac73r).
Não existe valor máximo (vai a +infty ao longo da reta).

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