As declarações do imposto de renda individuais entregues antes do dia 31 de março obtiveram uma média de restituição de US$ 1.056. Considere a população de declarantes “de última hora” que entregam suas declarações durante os cinco últimos dias do período de entrega das declarações do imposto de renda (tipicamente, de 10 a 15 de abril).
a. Um pesquisador sugere que uma razão para que as pessoas esperem até os cinco últimos dias é que em média essas pessoas têm menores restituições a receber do que aquelas que entregam as declarações primeiro. Desenvolva as hipóteses apropriadas de tal forma que a rejeição de H_{0} sustente a argumentação do pesquisador.
b. Para uma média de 400 indivíduos que entregaram suas declarações entre 10 e 15 de abril, a média amostral de restituição foi de US$910. Baseando-se na experiência anterior, pode-se supor um desvio padrão populacional \sigma=US \1.600 . Qual é o valorép$ ?
c. Com \alpha=0,05, qual é a sua conclusão?
d. Repita o teste de hipóteses anterior usando o critério do valor crítico.

Passo 1

O enunciado nos informa que as declarações entregues antes de 31 de março têm média de restituição de US$ 1056. Queremos testar se a média dos declarantes “de última hora” (10–15 de abril) é menor que essa. Trata-se de um teste de hipóteses para a média populacional com desvio padrão conhecido \sigma e tamanho de amostra n=400.

Passo 2

Formulamos as hipóteses de modo que a rejeição de H_{0} sustente a ideia de que a média dos últimos dias é menor:
H_{0}:\mu = 1056
H_{1}:\mu < 1056

Passo 3

Calculamos a estatística de teste z usando
z = \frac{\bar x - \mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}
Substituindo \bar x=910, \mu_{0}=1056, \sigma=1600 e n=400:
z = \frac{910 - 1056}{1600/\sqrt{400}} = \frac{-146}{80} = -1{,}825

Passo 4

O p
-valor é
p = P(Z \le -1{,}825)\approx 0{,}034.

Passo 5

Comparando com \alpha=0,05, temos p<\alpha. Logo, rejeitamos H_{0} e concluímos que a média de restituição dos declarantes de última hora é estatisticamente menor que US$ 1056.

Passo 6

Pelo critério de valor crítico, para \alpha=0,05 em teste unilateral à esquerda, o ponto crítico é
z_{\alpha} = -1{,}645.
Como z = -1{,}825 < -1{,}645, caímos na região de rejeição de H_{0}, confirmando a mesma conclusão.

Resposta

(a) H_{0}:\mu = 1056, H_{1}:\mu < 1056
(b) p \approx 0{,}034
(c) Como p<0{,}05, rejeita-se H_{0} (e aceita-se que \mu<1056).
(d) z_{\text{obs}}=-1{,}825 e z_{0{,}05}=-1{,}645; como -1{,}825< -1{,}645, rejeita-se H_{0}.

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