Descreva em coordenadas esféricas o sólido
T, limitado inferiormente plloplano x y, superior-- mente pelo cone \varphi=\frac{\pi}{6}, e lateralmente pelo ciLin–DRG x^{2}+y^{2}=a^{2}. Descreva I=\iiint_{T}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V.

Passo 1

O enunciado pede para descrever em coordenadas esféricas o sólido T limitado inferiormente pelo plano z=0, superiormente pelo cone \varphi = \frac{\pi}{6} e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2 = a^2. Vamos usar as fórmulas de coordenadas esféricas:
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,
e o elemento de volume
dV = \rho^2\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Além disso, dentro do integrando aparece x^2+y^2+z^2 = \rho^2.

Passo 2

Determinar os limites de \varphi. O sólido está acima do plano z=0, que em esféricas corresponde a \varphi = \frac{\pi}{2}, mas também está dentro do cone \varphi = \frac{\pi}{6}. Como queremos a região entre o eixo z e esse cone, temos
0 \le \varphi \le \frac{\pi}{6}.

Passo 3

Para cada \varphi fixo, a face lateral é dada pelo cilindro
x^2+y^2 = (\rho\sin\varphi)^2 = a^2 \quad\Longrightarrow\quad \rho = \frac{a}{\sin\varphi}.
Logo,
0 \le \rho \le \frac{a}{\sin\varphi}.

Passo 4

O ângulo \theta varia em torno do eixo z cobrindo toda a volta, isto é,
0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 5

Escrevendo o integrando em esféricas temos x^2+y^2+z^2 = \rho^2, de modo que
I = \iiint_{T}\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)\,dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/6} \int_{0}^{a/\sin\varphi} \rho^2\;\bigl(\rho^2\sin\varphi\bigr) \,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/6} \int_{0}^{a/\sin\varphi} \rho^4\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Resposta

I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/6} \int_{0}^{\tfrac{a}{\sin\varphi}} \rho^4\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

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