Qual a declividade da reta tangente a curva r^2=cos 2 theta em theta=pi6 ?

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r^2=cos2theta
e pede a declividade da reta tangente em theta=tfracpi6. Para isso, precisamos expressar r como função de theta, calcular tfracdrdtheta e usar a fórmula de declividade em coordenadas polares
dydx =drdthetasintheta + rcostheta drdthetacostheta - rsintheta

Passo 2

Resolvendo para r e derivando em relação a theta, temos
r = raizcos2theta,
drdtheta =12(cos2theta)^-1/2cdot(-2sin2theta) =-sin2thetaraizcos2theta

Passo 3

Em theta=tfracpi6, calcula-se
cos2theta=cospi3=12 Longrightarrow r=raiz12=1raiz2,
sin2theta=sinpi3=raiz32 Longrightarrow drdtheta =-raiz321raiz2 =-raiz32,raiz2 =-raiz62

Passo 4

Agora aplica-se a fórmula da declividade:
dydx =l(-tfracraiz62r)sinpi6 +tfrac1raiz2cospi6 l(-tfracraiz62r)cospi6 -tfrac1raiz2sinpi6
Como sintfracpi6=tfrac12 e costfracpi6=tfracraiz32, o numerador fica
-raiz62cdot12 +1raiz2cdotraiz32 =-raiz64 +raiz32raiz2 =-raiz64 +raiz64 =0

Passo 5

Como o numerador é zero e o denominador é não nulo, a declividade é
dydx=0

Resposta

A declividade da reta tangente é 0.

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