Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral de linha pelo teorema de Green. Verifique, então, o resultado pelo método da Seç̧ão 19.2.
, onde
é o quadrado com vértices em
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral
, onde
é um quadrado com vértices em
,
,
e
. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região limitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Ele diz que:
Aqui,
e
. Nossa missão é encontrar
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, subtraímos
de
:
Passo 4
Vamos configurar a integral dupla sobre a região
, que é o quadrado definido pelos vértices fornecidos. Como
vai de
a
e de
a
, a integral fica:
Essa integral simplesmente calcula a área de
e multiplica por
.
Passo 5
A área do quadrado
é
. Então:
Resposta
O valor da integral de linha
é
.