Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral de linha pelo teorema de Green. Verifique, então, o resultado pelo método da Seç̧ão 19.2.
ointc 4 y d x+3 x d y, onde C é o quadrado com vértices em (0,0),(1,0) e (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral ointC 4y , dx + 3x , dy, onde C é um quadrado com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1). Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Ele diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Aqui, P = 4y e Q = 3x. Nossa missão é encontrar partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(3x) = 3
partial Ppartial y = partialpartial y(4y) = 4
Agora, subtraímos partial Ppartial y de partial Qpartial x:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3 - 4 = -1

Passo 4

Vamos configurar a integral dupla sobre a região D, que é o quadrado definido pelos vértices fornecidos. Como D vai de x = 0 a x = 1 e de y = 0 a y = 1, a integral fica:
integral duplaD (-1) , dx , dy = - integral duplaD 1 , dx , dy
Essa integral simplesmente calcula a área de D e multiplica por -1.

Passo 5

A área do quadrado D é 1 times 1 = 1. Então:
- integral duplaD 1 , dx , dy = -1

Resposta

O valor da integral de linha ointC 4y , dx + 3x , dy é -1.

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