Dê uma parametrização para a trajetória de uma partícula que se move ao longo de
, meia volta no sentido horário a partir de
. Esboce a trajetória.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que precisamos fazer aqui. A gente tem uma partícula que se mexe ao longo de uma curva definida pela equação
. Essa equação representa uma elipse. O exercício pede para a gente encontrar uma parametrização dessa trajetória, que é como uma forma de descrever o movimento da partícula usando uma variável, geralmente
. Além disso, a partícula faz uma meia volta no sentido horário, começando no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre parametrizações de elipses e como ajustar o sentido do movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a parametrização padrão de uma elipse. Uma elipse com semi-eixo maior
e semi-eixo menor
, centrada na origem, tem a parametrização:
No nosso caso, a elipse não está centrada na origem e tem
e
(porque
e
).
Passo 3
A equação da nossa elipse é
. Isso significa que o centro da elipse está em
. Então, para ajustar a parametrização para o centro deslocado, a gente faz:
Passo 4
Agora, precisamos considerar o sentido de movimento. A parametrização padrão
faz a partícula se mover no sentido anti-horário. Mas o exercício pede para a gente mover no sentido horário. Para inverter o sentido, substituímos
por
:
Então, a parametrização fica:
Passo 5
Por último, vamos determinar o intervalo de
para fazer uma meia volta. Como uma volta completa corresponde a
indo de
a
, meia volta será de
a
.
Resposta
A parametrização da trajetória é:
para
no intervalo de
a
.