Dê uma parametrização para a trajetória de uma partícula que se move ao longo de (x+1)^29+y^24=1, meia volta no sentido horário a partir de (-4,0). Esboce a trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que precisamos fazer aqui. A gente tem uma partícula que se mexe ao longo de uma curva definida pela equação (x+1)^29+y^24=1. Essa equação representa uma elipse. O exercício pede para a gente encontrar uma parametrização dessa trajetória, que é como uma forma de descrever o movimento da partícula usando uma variável, geralmente t. Além disso, a partícula faz uma meia volta no sentido horário, começando no ponto (-4,0). Para resolver isso, vamos precisar saber sobre parametrizações de elipses e como ajustar o sentido do movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a parametrização padrão de uma elipse. Uma elipse com semi-eixo maior a e semi-eixo menor b, centrada na origem, tem a parametrização:
x = a cos(t)
y = b sin(t)
No nosso caso, a elipse não está centrada na origem e tem a = 3 e b = 2 (porque 9 = 3^2 e 4 = 2^2).

Passo 3

A equação da nossa elipse é (x+1)^29+y^24=1. Isso significa que o centro da elipse está em (-1,0). Então, para ajustar a parametrização para o centro deslocado, a gente faz:
x = -1 + 3 cos(t)
y = 2 sin(t)

Passo 4

Agora, precisamos considerar o sentido de movimento. A parametrização padrão (x = a cos(t), y = b sin(t)) faz a partícula se mover no sentido anti-horário. Mas o exercício pede para a gente mover no sentido horário. Para inverter o sentido, substituímos t por -t:
x = -1 + 3 cos(-t) = -1 + 3 cos(t)
y = 2 sin(-t) = -2 sin(t)
Então, a parametrização fica:
x = -1 + 3 cos(t)
y = -2 sin(t)

Passo 5

Por último, vamos determinar o intervalo de t para fazer uma meia volta. Como uma volta completa corresponde a t indo de 0 a 2pi, meia volta será de 0 a pi.

Resposta

A parametrização da trajetória é:
x(t) = -1 + 3 cos(t)
y(t) = -2 sin(t)
para t no intervalo de 0 a pi.

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