Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a) $x y^{\prime}+y=2 x, x>0, y(1)=0 ; \quad \text { .

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x,y' + y = 2x, x>0, y(1)=0
Trata-se de uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x)
Como x>0, dividimos por x para obter
y' + 1x,y = 2

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) por
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral tfrac1x,dx = e^ln x = x

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(x)=x temos
x,y' + y = 2x
Observe que o lado esquerdo é a derivada de x,y:
ddx(x,y) = x,y' + y
Logo a equação fica
ddx(x,y) = 2x
Integrando ambos os lados,
x,y = integral 2x,dx = x^2 + C Longrightarrow y = x + Cx

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=0. Substituindo x=1 e y=0:
0 = 1 + C1 Longrightarrow C = -1
Portanto a solução particular é
y(x) = x - 1x

Resposta

y(x) = x - 1x

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