Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a) $x y^{\prime}+y=2 x, x>0, y(1)=0 ; \quad \text { .
(a) $x y^{\prime}+y=2 x, x>0, y(1)=0 ; \quad \text { .
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Trata-se de uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
Como
, dividimos por
para obter
Passo 3
Calculamos o fator integrante
por
Passo 4
Multiplicando a forma padrão por
temos
Observe que o lado esquerdo é a derivada de
:
Logo a equação fica
Integrando ambos os lados,
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
:
Portanto a solução particular é