Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral de linha pelo teorema de Green. Verifique, então, o resultado pelo método da Seç̧ão 19.2.
ointC(x^2-y^2) d x+2 x y d y, onde C é a circunferência x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointCl(x^2-y^2r),dx ;+;2xy,dy
onde C é a circunferência x^2+y^2=1, usando o Teorema de Green, e depois verificar por parametrização (Seção 19.2). Aqui temos
P(x,y)=x^2-y^2, Q(x,y)=2xy,
e C está orientada positivamente (contra-horário).

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde D é o disco x^2+y^2<=1. Calculamos as derivadas:
partial Qpartial x =partialpartial x(2xy)=2y, partial Ppartial y =partialpartial y(x^2-y^2)=-2y
Logo o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =2y-(-2y)=4y

Passo 3

Devemos então calcular
integral duplaD4y,dA
Como D é simétrico em relação ao eixo x e ymapsto -y muda o sinal de 4y, a integral é zero por simetria:
integral duplaD4y,dA=0

Passo 4

Para conferir, usamos a parametrização de C:
x=cos t, y=sin t, 0<= t<=2pi
Então
dx=-sin t,dt, dy=cos t,dt
Substituindo em P,dx+Q,dy:
(x^2-y^2),dx+2xy,dy =(cos^2t-sin^2t)(-sin t,dt) +2cos tsin t,( cos t,dt)
Simplificando:
-cos^2t,sin t+sin^3t+2cos^2t,sin t =cos^2t,sin t+sin^3t =sin tl(cos^2t+sin^2tr) =sin t
Logo
ointCP,dx+Q,dy =integral0^2pisin t,dt =0

Resposta

0

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