Mostre que, se x^{2} é par, então x é par.

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte afirmação: “Se x^{2} é par, então x é par.”\n
Informações dadas e suposições implícitas:\n
  • A variável x é um número inteiro (assumimos isso porque ‘par’ e ‘ímpar’ são propriedades de inteiros). \n
  • Dado: x^{2} é par (ou seja, x^{2} é divisível por 2).\n
  • Objetivo: provar que x é par (ou seja, x é divisível por 2).\n

Passo 2

Definições importantes (vamos mastigar tudo devagarinho):\n
  • Dizemos que um inteiro n é par se existe um inteiro k tal que n=2k. Isso significa "divisível por 2".\n
  • Dizemos que um inteiro n é ímpar se existe um inteiro k tal que n=2k+1.\n
    Entender bem essas representações é crucial: toda vez que quisermos trabalhar com “par” ou “ímpar” em provas, escrevemos o número nessa forma e manipulamos algebricamente.

Passo 3

Escolha do método: em vez de tentar provar diretamente “se x^{2} é par então x é par”, é muito mais simples provar a contrapartida lógica (a contrapositive). A contrapartida lógica diz que a afirmação "se P então Q" é equivalente à afirmação "se não Q então não P". Aqui:\n
  • P é " x^{2} é par".\n
  • Q é " x é par".\n
    A contrapartida é: “se x não é par (ou seja, x é ímpar) então x^{2} não é par (ou seja, x^{2} é ímpar)”.\n
    Provar essa contrapartida é direto e elegante; por equivalência lógica, isso prova a afirmação original. Vou provar a contrapartida passo a passo.

Passo 4

Assuma que x é ímpar. Pela definição de ímpar existe um inteiro k tal que\n
x = 2k + 1.
Agora vamos computar x^{2} usando essa representação.

Passo 5

Calculamos o quadrado de x:\n
x^{2} = (2k+1)^{2}.
Expandindo o quadrado (lembra da fórmula (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}?), temos:\n
(2k+1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1.
Agora fatoramos um 2 dos dois primeiros termos:\n
4k^{2} + 4k + 1 = 2(2k^{2} + 2k) + 1.
Chamando m = 2k^{2} + 2k, que é um inteiro porque k é inteiro, obtemos\n
x^{2} = 2m + 1.
Isso mostra exatamente que x^{2} é da forma 2 vezes um inteiro mais 1, ou seja, x^{2} é ímpar.

Passo 6

Concluímos a contrapartida: se x é ímpar então x^{2} é ímpar. Como a contrapartida é logicamente equivalente à afirmação original, deduzimos que: se x^{2} é par, então x é par. \n
(Ufa! A lógica ajudou a simplificar bastante.)

Resposta

x é par.

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