Mostre que, se
é par, então
é par.
Passo 1
O enunciado pede para provar a seguinte afirmação: “Se
é par, então
é par.”\n
Informações dadas e suposições implícitas:\n
Informações dadas e suposições implícitas:\n
- A variável
é um número inteiro (assumimos isso porque ‘par’ e ‘ímpar’ são propriedades de inteiros). \n - Dado:
é par (ou seja, é divisível por ).\n - Objetivo: provar que
é par (ou seja, é divisível por ).\n
Passo 2
Definições importantes (vamos mastigar tudo devagarinho):\n
- Dizemos que um inteiro
é par se existe um inteiro tal que . Isso significa "divisível por ".\n - Dizemos que um inteiro
é ímpar se existe um inteiro tal que .\n
Entender bem essas representações é crucial: toda vez que quisermos trabalhar com “par” ou “ímpar” em provas, escrevemos o número nessa forma e manipulamos algebricamente.
Passo 3
Escolha do método: em vez de tentar provar diretamente “se
é par então
é par”, é muito mais simples provar a contrapartida lógica (a contrapositive). A contrapartida lógica diz que a afirmação "se
então
" é equivalente à afirmação "se não
então não
". Aqui:\n
-
é " é par".\n -
é " é par".\n
A contrapartida é: “senão é par (ou seja, é ímpar) então não é par (ou seja, é ímpar)”.\n
Provar essa contrapartida é direto e elegante; por equivalência lógica, isso prova a afirmação original. Vou provar a contrapartida passo a passo.
Passo 4
Assuma que
é ímpar. Pela definição de ímpar existe um inteiro
tal que\n
Agora vamos computar
usando essa representação.
Passo 5
Calculamos o quadrado de
:\n
Expandindo o quadrado (lembra da fórmula
?), temos:\n
Agora fatoramos um
dos dois primeiros termos:\n
Chamando
, que é um inteiro porque
é inteiro, obtemos\n
Isso mostra exatamente que
é da forma
vezes um inteiro mais
, ou seja,
é ímpar.
Passo 6
Concluímos a contrapartida: se
é ímpar então
é ímpar. Como a contrapartida é logicamente equivalente à afirmação original, deduzimos que: se
é par, então
é par. \n
(Ufa! A lógica ajudou a simplificar bastante.)
(Ufa! A lógica ajudou a simplificar bastante.)