Decomponha a fração racional em frações parciais e calcule a integral indefinida: \int\left(3 x^{2}+2 x+1\right) /\left((x-1)^{2}(x+2)\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: decompor em frações parciais e calcular a integral indefinida da função racional
\int \frac{3x^{2}+2x+1}{(x-1)^{2}(x+2)}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{numerador: }3x^{2}+2x+1;
\text{denominador: }(x-1)^{2}(x+2);
o denominador já está fatorado em fatores lineares, com um fator repetido (x-1)^{2}. O grau do numerador ( 2) é menor que o grau do denominador ( 3), logo a fração é própria e podemos aplicar diretamente a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Forma geral da decomposição: como (x-1) é um fator linear de multiplicidade 2 e (x+2) é um fator linear simples, a decomposição tem a forma
\frac{3x^{2}+2x+1}{(x-1)^{2}(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{x+2},
onde A, B e C são constantes a determinar. Explico por que: para cada fator linear (x-a) de multiplicidade m devemos incluir termos \frac{K_1}{x-a}+\frac{K_2}{(x-a)^2}+\dots+\frac{K_m}{(x-a)^m}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)^{2}(x+2) para obter uma identidade polinomial:
3x^{2}+2x+1 = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^{2}.

Passo 4

Vamos expandir os termos do lado direito passo a passo:
Primeiro,
(x-1)(x+2)=x^{2}+x-2,
então
A(x-1)(x+2)=A x^{2}+A x-2A.
Também
B(x+2)=B x+2B.
E
(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1,
portanto
C(x-1)^{2}=C x^{2}-2C x + C.
Somando tudo:
A x^{2}+A x-2A + B x+2B + C x^{2}-2C x + C.
Agrupando coeficientes semelhantes (para x^{2}, x e termo constante):
(A+C)x^{2} + (A - 2C + B)x + (-2A + 2B + C).
Essa soma deve ser igual ao polinômio do lado esquerdo 3x^{2}+2x+1. Assim obtemos um sistema para os coeficientes:
\begin{cases} A + C = 3,\\[4pt] A - 2C + B = 2,\\[4pt] -2A + 2B + C = 1. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema: a partir de A + C = 3 temos
C = 3 - A.
Substituímos em A - 2C + B = 2:
A - 2(3 - A) + B = 2.
Calculando:
A - 6 + 2A + B = 2 \quad\Rightarrow\quad 3A + B = 8,
então
B = 8 - 3A.
Agora substituímos C e B na terceira equação -2A + 2B + C = 1:
-2A + 2(8 - 3A) + (3 - A) = 1.
Calculando passo a passo:
-2A + 16 - 6A + 3 - A = 1,
(-2 -6 -1)A + 19 = 1,
-9A + 19 = 1,
-9A = -18,
A = 2.
Com A=2 temos
C = 3 - A = 1,
B = 8 - 3A = 8 - 6 = 2.
Portanto A=2, B=2 e C=1.

Passo 6

Escrevendo a decomposição encontrada:
\frac{3x^{2}+2x+1}{(x-1)^{2}(x+2)}=\frac{2}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x+2}.

Passo 7

Integramos termo a termo. Lembretes de integração que usamos:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C, porque a derivada de \ln|x-a| é \frac{1}{x-a}.
  • \displaystyle \int (x-a)^{-2}\,dx = -(x-a)^{-1}+C, pois \frac{d}{dx}\big((x-a)^{-1}\big)=- (x-a)^{-2}.
Aplicando isso:
  1. Para \displaystyle \int \frac{2}{x-1}\,dx:
\int \frac{2}{x-1}\,dx = 2\ln|x-1|.
  1. Para \displaystyle \int \frac{2}{(x-1)^{2}}\,dx:
\int 2(x-1)^{-2}\,dx = 2\cdot\big(- (x-1)^{-1}\big) = -\frac{2}{x-1}.
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{x+2}\,dx:
\int \frac{1}{x+2}\,dx = \ln|x+2|.
Somando as três contribuições e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Passo 8

A integral indefinida é
2\ln|x-1| - \frac{2}{x-1} + \ln|x+2| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

2\ln|x-1| - \frac{2}{x-1} + \ln|x+2| + C

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