Decomponha a fração racional em frações parciais e calcule a integral indefinida: \int\left(3 x^{2}+2 x+1\right) /\left((x-1)^{2}(x+2)\right) d x
Passo 1
O que o enunciado pede: decompor em frações parciais e calcular a integral indefinida da função racional
\int \frac{3x^{2}+2x+1}{(x-1)^{2}(x+2)}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{numerador: }3x^{2}+2x+1;
\text{denominador: }(x-1)^{2}(x+2);
o denominador já está fatorado em fatores lineares, com um fator repetido (x-1)^{2}. O grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (3), logo a fração é própria e podemos aplicar diretamente a decomposição em frações parciais.
Passo 2
Forma geral da decomposição: como (x-1) é um fator linear de multiplicidade 2 e (x+2) é um fator linear simples, a decomposição tem a forma
onde A, B e C são constantes a determinar. Explico por que: para cada fator linear (x-a) de multiplicidade m devemos incluir termos \frac{K_1}{x-a}+\frac{K_2}{(x-a)^2}+\dots+\frac{K_m}{(x-a)^m}.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por (x-1)^{2}(x+2) para obter uma identidade polinomial:
3x^{2}+2x+1 = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^{2}.
Passo 4
Vamos expandir os termos do lado direito passo a passo:
Primeiro,
(x-1)(x+2)=x^{2}+x-2,
então
A(x-1)(x+2)=A x^{2}+A x-2A.
Também
B(x+2)=B x+2B.
E
(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1,
portanto
C(x-1)^{2}=C x^{2}-2C x + C.
Somando tudo:
A x^{2}+A x-2A + B x+2B + C x^{2}-2C x + C.
Agrupando coeficientes semelhantes (para x^{2}, x e termo constante):
(A+C)x^{2} + (A - 2C + B)x + (-2A + 2B + C).
Essa soma deve ser igual ao polinômio do lado esquerdo 3x^{2}+2x+1. Assim obtemos um sistema para os coeficientes:
\begin{cases} A + C = 3,\\[4pt] A - 2C + B = 2,\\[4pt] -2A + 2B + C = 1. \end{cases}]
Passo 5
Resolvendo o sistema: a partir de A + C = 3 temos
C = 3 - A.
Substituímos em A - 2C + B = 2:
A - 2(3 - A) + B = 2.
Calculando:
A - 6 + 2A + B = 2 \quad\Rightarrow\quad 3A + B = 8,
então
B = 8 - 3A.
Agora substituímos C e B na terceira equação -2A + 2B + C = 1: