Decomponha em frações parciais:
(j) x^2-12 x-36x^3-18 x^2+108 x-216

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais de
x^2-12x-36x^3-18x^2+108x-216
O conteúdo é frações parciais em que precisamos fatorar o denominador e expressar a função como soma de termos da forma Ax-6, B(x-6)^2, C(x-6)^3.

Passo 2

Fatoramos o denominador observando que
x^3-18x^2+108x-216 = (x-6)^3,
pois (x-6)^3 = x^3 -3cdot6x^2 +3cdot6^2x -6^3 = x^3-18x^2+108x-216.

Passo 3

Como o grau do numerador é menor que o do denominador, usamos o ansatz
x^2-12x-36(x-6)^3 = Ax-6+B(x-6)^2+C(x-6)^3
Multiplicamos ambos os lados por (x-6)^3:
x^2-12x-36 = A,(x-6)^2 + B,(x-6) + C

Passo 4

Expandimos o lado direito:
A(x-6)^2 + B(x-6) + C = Al(x^2-12x+36r) + Bx - 6B + C = A x^2 +(-12A+B)x + (36A-6B+C)
Comparando coeficientes com x^2-12x-36:
para x^2: A=1,
para x: -12A+B=-12 -12+ B=-12 logo B=0,
para constante: 36A-6B+C=-36 36 + C=-36 logo C=-72.

Resposta

x^2-12x-36x^3-18x^2+108x-216 = 1x-6 ;-;72(x-6)^3

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