Decomponha em frações parciais:
(i) 3 x^2+30 x-75x^3+15 x^2+75 x+125

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
3x^2+30x-75x^3+15x^2+75x+125
O conteúdo usado aqui é decomposição em frações parciais para fator do denominador linear repetido. Primeiro vamos fatorar o denominador.

Passo 2

Reconhecemos que
x^3+15x^2+75x+125
é um cubo perfeito, pois segue a fórmula (x+5)^3=x^3+3cdot5x^2+3cdot5^2x+5^3. Logo,
x^3+15x^2+75x+125 = (x+5)^3

Passo 3

Para um fator linear de multiplicidade 3, a decomposição em frações parciais é da forma
3x^2+30x-75(x+5)^3 = Ax+5 + B(x+5)^2 + C(x+5)^3
Multiplicando ambos os lados por (x+5)^3, obtemos a identidade de polinômios
3x^2+30x-75 = A(x+5)^2 + B(x+5) + C

Passo 4

Expandimos o lado direito e agrupamos termos:
portanto
Comparando com
Substituindo logo . Na terceira:

Resposta

3x^2+30x-75x^3+15x^2+75x+125 = 3x+5 ;-;150(x+5)^3

Exercícios relacionados