Decomponha em frações parciais:
(a) 2 x^2-12 x+18x^3-11 x^2+43 x-13

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função racional
2x^2-12x+18x^3-11x^2+43x-13
Estamos em análise de frações racionais: como a parte integral (grau do numerador) é menor que a do denominador, trata\‐se de uma fração própria; o passo seguinte é tentar fatorar o denominador em fatores de grau 1 ou 2 com coeficientes racionais.

Passo 2

Verificamos que o grau do numerador, deg(2x^2-12x+18)=2, é menor que o do denominador, deg(x^3-11x^2+43x-13)=3. Logo a fração já é própria e não precisa de divisão polinomial.

Passo 3

Para fatorar o denominador tentamos o teste da raiz racional: qualquer raiz racional tfracpq deve ter pmid -13 e qmid1. Os candidatos são
pm1, pm13
Calculando
f(1)=1-11+43-13=20, f(-1)=-1-11-43-13=-68,
f(13)=2197-1859+559-13=884, f(-13)=-2197-1859-559-13=-4628,
nenhum dá zero.

Passo 4

Como não há raiz racional, o polinômio
x^3-11x^2+43x-13
é irreduzível sobre Q. Não podemos escrevê-lo como produto de fatores lineares ou quadráticos de coeficientes racionais.

Passo 5

Portanto não existe decomposição em frações parciais com denominadores de grau 1 ou 2 sobre Q. A fração dada já está na forma mais simples possível no domínio dos coeficientes racionais.

Resposta

A fração
2x^2-12x+18x^3-11x^2+43x-13
é própria e o denominador é irreduzível sobre Q. Logo não se decompõe em frações parciais com coeficientes racionais.

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