Decomponha em frações parciais:
(k) 3 x^2+36 x-108x^3+18 x^2+108 x+216

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função
3x^2+36x-108x^3+18x^2+108x+216
O conteúdo envolve fatorar o denominador (que será uma raiz linear repetida) e determinar coeficientes via comparação de termos.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador. Testando x=-6:
(-6)^3+18(-6)^2+108(-6)+216 = -216 + 648 - 648 + 216 = 0,
logo x+6 é fator. Pela divisão de polinômios obtém-se
x^3+18x^2+108x+216 = (x+6)(x^2+12x+36)
E como
x^2+12x+36 = (x+6)^2,
segue que
x^3+18x^2+108x+216 = (x+6)^3

Passo 3

Como o grau do numerador ( 2) é menor que o do denominador ( 3), a fração já é própria. Então escrevemos o ansatz
3x^2+36x-108(x+6)^3 = Ax+6 + B(x+6)^2 + C(x+6)^3

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (x+6)^3 e obtemos
3x^2+36x-108 = A(x+6)^2 + B(x+6) + C
Expandindo o lado direito:
A(x^2+12x+36) + Bx + 6B + C = A x^2 + (12A + B),x + (36A + 6B + C)

Passo 5

Comparamos coeficientes com 3x^2+36x-108:
coeficiente de x^2:
A = 3
coeficiente de x:
12A + B = 36 ;Longrightarrow; 12cdot3 + B = 36 ;Longrightarrow; B = 0
termo constante:
36A + 6B + C = -108 ;Longrightarrow; 36cdot3 + 0 + C = -108 ;Longrightarrow; 108 + C = -108 ;Longrightarrow; C = -216

Resposta

3x^2+36x-108x^3+18x^2+108x+216 = 3x+6 - 216(x+6)^3

Exercícios relacionados