Decomponha em frações parciais:
(b) 13 x+3x^3+x^2-17 x-13

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função racional
13x+3x^3+x^2-17x-13
Para isso precisaremos fatorar o polinômio do denominador em fatores de grau 1 ou 2 com coeficientes racionais, usando o Teorema das Raízes Racionais.

Passo 2

Pelas possíveis raízes racionais de x^3+x^2-17x-13 (divisores de -13 sobre divisores de 1), só restam pm1 e pm13. Vamos testar:
f(1)&=1+1-17-13=-28neq0, f(-1)&=-1+1+17-13=4neq0, f(13)&=2197+169-221-13=2132neq0, f(-13)&=-2197+169+221-13=-1820neq0
Nenhuma dessas é raiz.

Passo 3

Como não há raízes racionais, o polinômio
x^3+x^2-17x-13
não se fatoriza em fatores lineares de coeficientes racionais. Também não há fatores quadráticos de coeficientes racionais porque, para isso, ele teria de admitir uma raiz racional.

Passo 4

Logo, sobre o corpo dos racionais, o denominador é irreduzível de grau 3. A fração já é própria (grau do numerador < grau do denominador) e não admite decomposição em somas de frações com denominadores lineares ou quadráticos racionais mais simples.

Resposta

A fração dfrac13x+3x^3+x^2-17x-13 é própria e o polinômio do denominador é irreduzível em Q[x]. Portanto, não existe decomposição em frações parciais com fatores de denominador de grau 1 ou 2 e coeficientes racionais.

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