Provar que A B C é triângulo retângulo, sendo A=(3,-2,8), B= (0,0,2) e C=(-3,-5,10).

Passo 1

O enunciado dá três pontos em R^3:
A=(3,-2,8), B=(0,0,2) e C=(-3,-5,10).
Queremos mostrar que o triângulo ABC é retângulo.
Para isso, usaremos a propriedade do produto escalar: dois vetores são perpendiculares se, e somente se, seu produto escalar for zero.

Passo 2

Calcular o vetor AB subtraindo as coordenadas de A das de B:
AB = B - A = (0-3,;0 - (-2),;2-8) = (-3,;2,;-6)

Passo 3

Calcular o vetor AC subtraindo as coordenadas de A das de C:
AC = C - A = (-3-3,;-5 - (-2),;10-8) = (-6,;-3,;2)

Passo 4

Fazer o produto escalar ABcdotAC:
ABcdotAC = (-3)cdot(-6) + 2cdot(-3) + (-6)cdot2 = 18 - 6 - 12 = 0
Como o produto escalar é zero, AB é perpendicular a AC, isto é, o ângulo em A é reto.

Resposta

O triângulo ABC é retângulo em A.

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