Decomponha em frações parciais:
(g) x^2-15 x-2x^3-11 x^2+36 x-8

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função
x^2-15x-2x^3-11x^2+36x-8,
O conteúdo envolvido é frações parciais para uma razão de polinômios. Como o grau do numerador ( 2) é menor que o do denominador ( 3), não há divisão polinomial prévia.

Passo 2

Procuramos raízes racionais possíveis do denominador D(x)=x^3-11x^2+36x-8 usando o Teorema das Raízes Racionais (divisores de pm8). Testando x=pm1,pm2,pm4,pm8 vemos que
D(1)=18,;D(2)=28,;D(4)=24,;D(8)=88,;D(-1)=-56,dots
nenhum dá zero. Logo não há fator linear de coeficientes inteiros.

Passo 3

Como D(x) é cúbico real sem raízes racionais, ele tem precisamente uma raiz real alpha (irracional) e duas complexas conjugadas. Assim sobre R podemos escrever
D(x) = (x-alpha)l(x^2+p,x+qr)
para certos p,qinR.

Passo 4

A decomposição genérica em frações parciais, sobre os fatores reais, é
x^2-15x-2(x-alpha)(x^2+p,x+q) = Ax-alpha ;+;B,x + Cx^2+p,x+q,

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por (x-alpha)(x^2+p,x+q) e agrupando termos, obtemos o sistema em A,B,C:
x^2-15x-2 = A,(x^2+p,x+q);+;(B,x+C),(x-alpha)
Comparando coeficientes de x^2,x^1,x^0 dá um sistema lineares em A,B,C. Substituindo p=alpha-11 e q=8/alpha ( vindos da identidade cúbica x^3-11x^2+36x-8=0 ) e resolvendo, encontra-se
A=4alpha^2+38alpha-8-11alpha^2+72alpha-24, B=1-A, C=-15+11A+ alpha(1-2A)

Resposta

x^2-15x-2x^3-11x^2+36x-8 =Ax-alpha ;+;B,x + Cx^2+(alpha-11)x + tfrac8alpha,
com
A=4alpha^2+38alpha-8-11alpha^2+72alpha-24, B=1-A, C=-15+11A+alpha(1-2A),
onde alpha é a única raiz real do polinômio x^3-11x^2+36x-8=0.

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