Seja o triângulo de vértices A=(0,0,0) B=(1,-2,1) e C=(1,1,-2). Pede-se o ângulo interno ao vértice A.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com vértices A=(0,0,0), B=(1,-2,1) e C=(1,1,-2). Pede-se o ângulo interno em A. Para isso vamos usar a geometria vetorial: o ângulo theta em A é o ângulo entre os vetores AB e AC, dado pela fórmula do produto escalar.

Passo 2

Calcular os vetores que partem de A:
AB = B - A = (1,-2,1), AC = C - A = (1,1,-2)

Passo 3

Obter o produto escalar e as normas:
ABcdotAC = 1cdot1 + (-2)cdot1 + 1cdot(-2) = 1 - 2 - 2 = -3,
|AB| = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz6, |AC| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz6

Passo 4

Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo:
costheta = ABcdotAC |AB|;|AC| = -3raiz6,raiz6 = -tfrac12
Logo,
theta = arccosl(-tfrac12r) = 120^circ

Resposta

O ângulo interno em A é 120^circ.

Exercícios relacionados