Decomponha em frações parciais:
(f) x^2+4 x-38x^3+12 x^2+49 x-13

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função racional
x^2+4x-38x^3+12x^2+49x-13
O conteúdo é decomposição em frações parciais. Para isso precisamos fatorar o denominador (ou, se não for fatorável em razões simples racionais, identificar seu fator linear real e o fator quadrático residual) e depois usar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Aplicamos o teste de raízes racionais ao polinômio
D(x)=x^3+12x^2+49x-13
Os únicos candidatos são pm1,pm13, mas D(1)=49, D(-1)=-51, D(13) e D(-13) não são zero. Concluímos que não há raízes racionais. Como é um cúbico de coeficientes reais, há uma única raiz real alpha (irracional) e duas complexas conjugadas. Logo podemos escrever
D(x)=(x-alpha)l(x^2+u,x+vr),
com u,vinR obtidos pela identidade de polinômios.

Passo 3

Para encontrar
e igualamos aos coeficientes de . Assim
Dessas equações obtemos
com .

Passo 4

Agora escrevemos a decomposição em frações parciais na forma
x^2+4x-38(x-alpha)(x^2+u x+v) =Ax-alpha+B,x+Cx^2+u x+v,
onde A,B,C são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por (x-alpha)(x^2+u x+v) ficamos com
x^2+4x-38 = A,(x^2+u x+v)+(B,x+C)(x-alpha)

Passo 5

Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes com
Como , resolvemos em função de .

Passo 6

Da primeira equação vem B=1-A.
Substituindo na segunda:
A(12+alpha)+C-alpha(1-A)=4 ;Longrightarrow; C=4+alpha -A,(12+2alpha)
Na terceira:
A,v-alpha,C=-38 ;Longrightarrow; Al(v+alpha(12+2alpha)r)=4alpha+alpha^2-38
Mas
v+alpha(12+2alpha) =49+12alpha+alpha^2+alpha(12+2alpha) =49+24alpha+3alpha^2
Logo
A=4alpha+alpha^2-383alpha^2+24alpha+49, B=1-A, C=4+alpha -A,(12+2alpha)

Resposta

Chamando alpha a única raiz real de alpha^3+12alpha^2+49alpha-13=0, e definindo
u=12+alpha, v=49+12alpha+alpha^2,
temos a decomposição em frações parciais
x^2+4x-38x^3+12x^2+49x-13 =Ax-alpha+B,x+Cx^2+u x+v,
onde
A=4alpha+alpha^2-383alpha^2+24alpha+49, B=1-A, C=4+alpha -A(12+2alpha)
Essa é a forma completa da decomposição em frações parciais.

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