Decomponha em frações parciais:
(h) 3 x^2+41 x-30x^3+3 x^2-20 x-8

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
3x^2 + 41x - 30x^3 + 3x^2 - 20x - 8
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais sobre Q. Primeiro, vamos verificar se o polinômio do denominador tem raízes racionais, pois só assim conseguimos fatorá-lo em fatores lineares de coeficientes racionais.

Passo 2

Procuramos raízes da forma pm1,pm2,pm4,pm8. Avaliando
f(x)=x^3+3x^2-20x-8
em x=1,2,4,8,-1,-2,-4,-8 vemos que nunca dá zero. Logo, não há raízes racionais e o polinômio é irreduzível em Q[x].

Passo 3

Como o denominador é um cúbico irreduzível em Q[x], não podemos fatorá-lo em fatores quadráticos ou lineares de coeficientes racionais. A forma geral da decomposição em frações parciais, portanto, fica
3x^2+41x-30x^3+3x^2-20x-8 =Ax-r1+Bx-r2+Cx-r3,
onde r1,r2,r3 são as três raízes (uma real e duas complexas conjugadas) do denominador.

Passo 4

Os coeficientes A,B,C em termos das raízes ri podem ser obtidos pela fórmula padrão
A=3r1^2+41r1-30(r1-r2)(r1-r3), B=3r2^2+41r2-30(r2-r1)(r2-r3), C=3r3^2+41r3-30(r3-r1)(r3-r2)
Essas expressões completam a decomposição em frações parciais, embora envolvam valores radicais vindos da solução da equação cúbica.

Resposta

3x^2+41x-30x^3+3x^2-20x-8 =Ax-r1+Bx-r2+Cx-r3,
com
A=3r1^2+41r1-30(r1-r2)(r1-r3), B=3r2^2+41r2-30(r2-r1)(r2-r3), C=3r3^2+41r3-30(r3-r1)(r3-r2),
em que r1,r2,r3 são as raízes do polinômio x^3+3x^2-20x-8.

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