Decomponha em frações parciais:
(d) -x^2-15 x+36x^3+10 x^2+3 x-126

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função racional
-x^2-15x+36x^3+10x^2+3x-126
O conteúdo é decomposição em frações parciais de uma função própria, e vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração como soma de termos simples.

Passo 2

Verificamos que o grau do numerador ( 2) é menor que o grau do denominador ( 3), logo a fração já é própria. Agora fatoramos o denominador:
x^3 + 10x^2 + 3x - 126 = (x-3)(x^2 + 13x + 42) = (x-3)(x+6)(x+7)

Passo 3

Escrevemos a decomposição em forma geral:
-x^2-15x+36(x-3)(x+6)(x+7) = Ax-3 + Bx+6 + Cx+7
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+6)(x+7) obtemos
-x^2 - 15x + 36 = A(x+6)(x+7) + B(x-3)(x+7) + C(x-3)(x+6)

Passo 4

Para encontrar A, B e C usamos raízes do denominador:
Para x=3:
-3^2 -15cdot3 +36 = -9 -45 +36 = -18 = A,(3+6)(3+7) = 90A
implies A = -tfrac1890 = -tfrac15
Para x=-6:
-(-6)^2 -15cdot(-6) +36 = -36 +90 +36 = 90 = B,(-6-3)(-6+7) = -9B
implies B = -10
Para x=-7:
-(-7)^2 -15cdot(-7) +36 = -49 +105 +36 = 92 = C,(-7-3)(-7+6) = 10C
implies C = tfrac9210 = tfrac465

Resposta

-x^2-15x+36x^3+10x^2+3x-126 = -15(x-3) ;-;10x+6;+;465(x+7)

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