Decomponha em frações parciais:
(c) 4 x^2-37 x-82x^3-13 x^2+52 x-60

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
4x^2-37x-82x^3-13x^2+52x-60
O conteúdo necessário é fatorar o denominador em polinômios de primeiro grau e depois expressar a função como soma de termos da forma tfracAx-alpha.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador
x^3-13x^2+52x-60
Teste x=2:
2^3-13cdot2^2+52cdot2-60=8-52+104-60=0,
logo (x-2) é fator. Fazendo divisão sintética, obtemos o quociente x^2-11x+30, que por sua vez fatora em (x-5)(x-6). Assim,
x^3-13x^2+52x-60=(x-2)(x-5)(x-6)

Passo 3

Escrevemos então
4x^2-37x-82(x-2)(x-5)(x-6) =Ax-2+Bx-5+Cx-6
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x-5)(x-6), fica a identidade
4x^2-37x-82 = A,(x-5)(x-6)+B,(x-2)(x-6)+C,(x-2)(x-5)

Passo 4

Para determinar A, B e C usamos valores de x que anulam cada fator:
— Se x=2, no lado esquerdo temos
4cdot2^2-37cdot2-82=16-74-82=-140
e no direito
A,(2-5)(2-6)=Acdot(-3)cdot(-4)=12A
Logo 12A=-140 e
A=-14012=-353
— Se x=5, no lado esquerdo
4cdot5^2-37cdot5-82=100-185-82=-167
e no direito
B,(5-2)(5-6)=Bcdot3cdot(-1)=-3B
Então -3B=-167 e
B=1673
— Se x=6, no lado esquerdo
4cdot6^2-37cdot6-82=144-222-82=-160
e no direito
C,(6-2)(6-5)=Ccdot4cdot1=4C
Assim 4C=-160 e
C=-40

Resposta

4x^2-37x-82x^3-13x^2+52x-60 =-353(x-2)+1673(x-5)-40x-6

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