Decomponha em frações parciais:
(e) 3 x^2-4 x+7x^3-2 x^2-7 x-4

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
3x^2-4x+7x^3-2x^2-7x-4
O conteúdo é Decomposição em Frações Parciais, e vamos precisar (1) verificar que o grau do numerador é menor que o do denominador, (2) fatorar o denominador em fatores lineares ou quadráticos irreduzíveis, (3) montar o “ansatz” de frações parciais e (4) achar as constantes comparando coeficientes.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador
x^3-2x^2-7x-4
Testando raízes inteiras, vemos que x=4 anula o polinômio. Aplicando divisão sintética,
coeficientes 1,,-2,,-7,,-4 com raiz 4 dão quociente x^2+2x+1. Logo
x^3-2x^2-7x-4 = (x-4)(x^2+2x+1) = (x-4)(x+1)^2

Passo 3

Como todos os fatores são lineares (com (x+1) repetido), escrevemos
3x^2-4x+7(x-4)(x+1)^2 = Ax-4+Bx+1+C(x+1)^2
Multiplicando ambos os lados por (x-4)(x+1)^2, obtemos a identidade de polinômios
3x^2-4x+7 = A(x+1)^2 ;+; B(x-4)(x+1) ;+; C(x-4)
Expandindo cada termo:
A(x^2+2x+1)=Ax^2+2Ax+A, B(x^2-3x-4)=Bx^2-3Bx-4B, C(x-4)=Cx-4C
Somando,
(A+B)x^2+(2A-3B+C)x+(A-4B-4C) ;=;3x^2-4x+7

Passo 4

Comparando coeficientes em
Da primeira equação (A=3-B]. Substituindo nas outras duas:
Então

Passo 5

Substituindo A, B e C no ansatz, fica
3x^2-4x+7(x-4)(x+1)^2 = tfrac3925x-4 + tfrac3625x+1 + -tfrac145(x+1)^2

Resposta

3x^2-4x+7x^3-2x^2-7x-4 = 3925(x-4) + 3625(x+1) - 145(x+1)^2

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