Decomponha em frações parciais:
(b) x^2-6 x+31x^3+4 x^2-11 x-30

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a expressão
x^2-6x+31x^3+4x^2-11x-30
O conteúdo é fatoração de polinômios e método de frações parciais para denominadores com raízes simples.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador x^3+4x^2-11x-30. Testando raízes racionais pm1,pm2,pm3,dots, encontramos
f(3)=3^3+4cdot3^2-11cdot3-30=27+36-33-30=0,
logo x-3 é fator. Dividindo sinteticamente,
x^3+4x^2-11x-30=(x-3)(x^2+7x+10)=(x-3)(x+5)(x+2)

Passo 3

Como todas as raízes são simples, assumimos
x^2-6x+31(x-3)(x+5)(x+2) =Ax-3+Bx+5+Cx+2
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+5)(x+2), obtemos a identidade
x^2-6x+31 =A(x+5)(x+2)+B(x-3)(x+2)+C(x-3)(x+5)

Passo 4

Vamos expandir o lado direito e coletar coeficientes de x^2, x e termo constante.
A(x+5)(x+2)=A(x^2+7x+10),
B(x-3)(x+2)=B(x^2-x-6),
C(x-3)(x+5)=C(x^2+2x-15)
Somando:
(A+B+C)x^2+l(7A - B +2Cr)x+l(10A-6B-15Cr) =x^2-6x+31
Igualando coeficientes:
A+B+C=1, 7A - B +2C=-6, 10A-6B-15C=31

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. De
  2. Substituindo em :
  1. Das duas últimas equações:
multiplicando a primeira por 3 e somando, encontramos e finalmente .

Passo 6

Substituindo A, B e C na decomposição, a resposta final é
x^2-6x+31x^3+4x^2-11x-30 =tfrac1120x-3 +tfrac4312x+5 -tfrac4715x+2

Resposta

x^2-6x+31x^3+4x^2-11x-30 =1120(x-3) +4312(x+5) -4715(x+2)

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