Decomponha em frações parciais:
(e) 3 x^2-20 x-14x^3-12 x^2+49 x-13

Passo 1

Temos a função racional
f(x)=3x^2-20x-14x^3-12x^2+49x-13
e queremos decompor em frações parciais. O conteúdo é “decomposição em frações parciais”: precisamos primeiro comparar graus de numerador e denominador, depois fatorar o denominador em fatores lineares ou quadráticos irreduzíveis e então montar a soma de parcelas simples.

Passo 2

Verificamos os graus: o numerador é de grau 2 e o denominador é de grau 3. Como deg(num)<deg(den), não há parte polinomial (não precisamos fazer divisão de polinômios) e seguimos direto para a fatoração do denominador.

Passo 3

Aplicamos o teste de raízes racionais no polinômio
p(x)=x^3-12x^2+49x-13
As únicas possíveis raízes racionais seriam divisores de 13, ou seja pm1,pm13.
Teste em x=1:
1-12+49-13=25neq0
Teste em x=-1:
-1-12-49-13=-75neq0
Teste em x=13 e x=-13 também não anulam p(x). Logo, não há raízes racionais, e o cubo não se fatorará em fatores lineares com coeficientes racionais.

Passo 4

Como p(x) não admite fatoração em raízes racionais, ele permanece como um fator cúbico irreduzível sobre Q. Portanto, a única forma de “decompor” em frações parciais seria escrever
3x^2-20x-14x^3-12x^2+49x-13 =Ax^2+Bx+Cx^3-12x^2+49x-13,
mas isso é exatamente a expressão original, sem simplificação.

Resposta

A fração já está na forma parcial possível sobre os racionais, pois o denominador é um polinômio cúbico irreduzível. Não há decomposição em somas de frações com denominadores de grau 1 ou 2 com coeficientes racionais.

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