Decomponha em frações parciais:
(d) -x^2+11 x-26x^3+x^2-12 x-8

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
f(x)=-x^2+11x-26x^3+x^2-12x-8
O conteúdo é “frações parciais” para uma função cujo denominador é um polinômio de grau 3. Como o numerador tem grau 2 (menor que 3), já é uma forma própria e não precisamos de divisão polinomial antes de decompor.

Passo 2

Vamos checar se o denominador
D(x)=x^3+x^2-12x-8
tem raízes racionais, pelo Teorema das Raízes Racionais ( pm divisores de 8). Testando x=pm1,pm2,pm4,pm8 vemos que nenhum zera D(x). Concluímos que não há fator linear com coeficientes racionais: todas as raízes são irracionais.

Passo 3

Como um polinômio cúbico real sempre tem três raízes (reais ou complexas) e o discriminante de D(x) é positivo, ele possui três raízes reais distintas, digamos
r1,;r2,;r3,
com valores aproximados obtidos por método numérico (bisseção ou Newton):
r1approx -3.674, r2approx -0.653, r3approx 3.327

Passo 4

Para decompor em frações parciais sobre os reais, escrevemos
-x^2+11x-26(x-r1)(x-r2)(x-r3) =Ax-r1+Bx-r2+Cx-r3
Multiplicando por (x-r1)(x-r2)(x-r3) e igualando numeradores, obtemos as fórmulas fechadas
A=-r1^2+11r1-26(r1-r2)(r1-r3), B=-r2^2+11r2-26(r2-r1)(r2-r3), C=-r3^2+11r3-26(r3-r1)(r3-r2)

Passo 5

Substituindo as aproximações de ri nas fórmulas, achamos numericamente
Aapprox-0,0168, Bapprox2,797, Capprox-3,780
Logo a decomposição aproximada é
-x^2+11x-26x^3+x^2-12x-8 approx -0,0168x+3,674 ;+;2,797x+0,653 ;+;-3,780x-3,327

Resposta

-x^2+11x-26x^3+x^2-12x-8 =Ax-r1+Bx-r2+Cx-r3,
onde
r1approx -3,674, r2approx -0,653, r3approx 3,327,
A=-r1^2+11r1-26(r1-r2)(r1-r3)approx -0,0168, B=-r2^2+11r2-26(r2-r1)(r2-r3)approx 2,797, C=-r3^2+11r3-26(r3-r1)(r3-r2)approx -3,780

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