Decomponha em frações parciais:
(g) 4 x^2-28 x-40x^3-10 x^2+28 x-24

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
4x^2-28x-40x^3-10x^2+28x-24
O conteúdo envolve fatoração de polinômios (raiz racional e divisão sintética) e decomposição em parcelas simples de um denominador com fator duplo.

Passo 2

Para fatorar o denominador x^3-10x^2+28x-24, testamos raízes racionais como x=2:
2^3-10cdot2^2+28cdot2-24=8-40+56-24=0,
logo x-2 é fator. Pela divisão sintética obtemos
x^3-10x^2+28x-24=(x-2)(x^2-8x+12)
E x^2-8x+12=(x-2)(x-6). Assim
x^3-10x^2+28x-24=(x-2)^2(x-6)

Passo 3

Como o denominador é (x-2)^2(x-6), propomos
4x^2-28x-40(x-2)^2(x-6) =Ax-2+B(x-2)^2+Cx-6
Multiplicando ambos os lados por (x-2)^2(x-6), vem
4x^2-28x-40 = A,(x-2)(x-6);+;B,(x-6);+;C,(x-2)^2

Passo 4

Expandindo cada termo do lado direito:
A(x^2-8x+12)+B(x-6)+C(x^2-4x+4) =(A+C)x^2+(-8A+B-4C)x+(12A-6B+4C)
Como isto deve igualar 4x^2-28x-40, igualamos coeficientes:
A + C = 4, -8A + B -4C = -28, 12A -6B +4C = -40

Passo 5

Resolvendo o sistema:
1. De A+C=4 segue C=4-A.
2. Substituindo em -8A+B-4C=-28 -8A+B-4(4-A)=-28 Rightarrow -4A+B=-12 Rightarrow B=4A-12.
3. Em 12A-6B+4C=-40, com B e C em função de A, obtemos -16A+88=-40 Rightarrow A=8.
4. Logo B=4cdot8-12=20 e C=4-8=-4.

Resposta

4x^2-28x-40x^3-10x^2+28x-24 =8x-2+20(x-2)^2-4x-6

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