Decomponha em frações parciais:
(h) -x^2-20 x+19x^3+9 x^2+15 x+7

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função racional
-x^2-20x+19x^3+9x^2+15x+7
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais, e vamos precisar fatorar o denominador e depois determinar constantes para cada termo simples.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador
x^3+9x^2+15x+7
Testando x=-1, vemos que
(-1)^3+9(-1)^2+15(-1)+7 = -1+9-15+7 = 0,
logo (x+1) é fator. Fazendo divisão sintética ou divisão polinomial, obtemos
x^3+9x^2+15x+7 = (x+1)(x^2+8x+7) = (x+1)(x+1)(x+7) = (x+1)^2(x+7)

Passo 3

Como o denominador é (x+1)^2(x+7), escrevemos a forma geral da decomposição:
-x^2-20x+19(x+1)^2(x+7) = Ax+1 + B(x+1)^2 + Cx+7

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x+1)^2(x+7), obtemos o numerador equivalente:
-x^2-20x+19 = A(x+1)(x+7) + B(x+7) + C(x+1)^2
Expandindo ao quadrado e agrupando coeficientes, dá
A(x^2+8x+7) + B(x+7) + C(x^2+2x+1) =(A+C)x^2 + (8A + B + 2C)x + (7A + 7B + C)
Comparando com -x^2-20x+19, formamos o sistema
A + C = -1, 8A + B + 2C = -20, 7A + 7B + C = 19

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, C = -1 - A. Substituindo na segunda,
8A + B + 2(-1 - A) = -20 Longrightarrow 6A + B = -18 Longrightarrow B = -18 - 6A
Na terceira,
7A + 7(-18 - 6A) + (-1 - A) = 19 Longrightarrow -36A - 127 = 19 Longrightarrow A = -tfrac7318
Logo
C = -1 - A = tfrac5518, B = -18 - 6A = tfrac193

Passo 6

Substituindo A, B e C na forma geral, fica
-x^2-20x+19(x+1)^2(x+7) = -tfrac7318x+1 + tfrac193(x+1)^2 + tfrac5518x+7

Resposta

-x^2-20x+19x^3+9x^2+15x+7 = -7318,1x+1 + 193,1(x+1)^2 + 5518,1x+7

Exercícios relacionados