Decomponha em frações parciais:
(f) x^2+4 x-4x^3+9 x^2+24 x+20

Passo 1

O enunciado nos dá a fração racional
x^2+4x-4x^3+9x^2+24x+20
e pede para decompor em frações parciais.
O conteúdo envolve fatoração de polinômios de grau 3, a forma geral de frações parciais para fatores lineares simples e repetidos, e a resolução de um sistema linear para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Fatoramos o denominador ,x^3+9x^2+24x+20.
x^3 + 9x^2 + 24x + 20 = (x+2)(x^2+7x+10) = (x+2)(x+5)(x+2) = (x+2)^2(x+5)

Passo 3

Como o denominador tem um fator linear repetido (x+2)^2 e um distinto (x+5), a forma de frações parciais é
x^2+4x-4(x+2)^2(x+5) = Ax+2 + B(x+2)^2 + Cx+5

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (x+2)^2(x+5) para obter a identidade polinomial
x^2 + 4x - 4 = A,(x+2)(x+5) ;+; B,(x+5) ;+; C,(x+2)^2

Passo 5

Expandimos e agrupamos termos em potências de x:
A(x^2+7x+10) + B(x+5) + C(x^2+4x+4) = (A+C)x^2 + (7A + B + 4C)x + (10A + 5B + 4C)
Igualando coeficientes a x^2+4x-4 obtemos o sistema
A + C = 1, 7A + B + 4C = 4, 10A + 5B + 4C = -4

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação C = 1 - A.
Substituindo na segunda:
7A + B + 4(1 - A) = 4 ;Longrightarrow; 3A + B = 0 ;Longrightarrow; B = -3A
Substituindo B e C na terceira:
10A + 5(-3A) + 4(1 - A) = -4 ;Longrightarrow; 10A -15A +4 -4A = -4 ;Longrightarrow; -9A = -8 ;Longrightarrow; A = tfrac89
Logo
B = -3cdottfrac89 = -tfrac83, C = 1 - tfrac89 = tfrac19

Passo 7

Substituindo A, B e C na forma de frações parciais, obtemos
x^2+4x-4x^3+9x^2+24x+20 = tfrac89x+2 - tfrac83(x+2)^2 + tfrac19x+5

Resposta

x^2+4x-4x^3+9x^2+24x+20 = 8/9x+2 - 8/3(x+2)^2 + 1/9x+5

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