Determinar a para que seja de 45^circ o ângulo entre os vetores u=(1, a, 0) e j.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a de modo que o ângulo entre u=(1,a,0) e j=(0,1,0) seja 45^circ. Vamos usar a fórmula do produto escalar para relacionar o cosseno do ângulo com componentes dos vetores.

Passo 2

Pela definição de produto escalar, temos
ucdotj=|u|,|j|costheta
Como ucdotj=a, |u|=raiz1+a^2 e |j|=1, segue que
costheta=araiz1+a^2

Passo 3

Para que theta=45^circ, precisamos de
cos45^circ=raiz22=araiz1+a^2

Passo 4

Elevando ao quadrado:
24=a^21+a^2 Longrightarrow 12=a^21+a^2 Longrightarrow 2a^2=1+a^2 Longrightarrow a^2=1
e, como queremos costheta>0 para theta=45^circ, escolhemos a>0, isto é, a=1.

Resposta

a=1

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