Decomponha em frações parciais:
(a) 3 x^2-16 x+5x^3-8 x^2-5 x+84

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
3x^2-16x+5x^3-8x^2-5x+84
O conteúdo envolve fatorar o denominador em fatores lineares e depois escrever
3x^2-16x+5(x-a)(x-b)(x-c) = Ax-a + Bx-b + Cx-c,
determinando A, B e C.

Passo 2

Fatoramos o denominador procurando raízes inteiras de x^3-8x^2-5x+84. Testando x=7 temos
7^3-8cdot7^2-5cdot7+84 =343-392-35+84=0,
logo (x-7) é fator. Dividindo por (x-7) por divisão sintética, obtemos quociente x^2-x-12, que ainda fatora como
x^2-x-12 = (x-4)(x+3)
Portanto
x^3-8x^2-5x+84 = (x-7)(x-4)(x+3)

Passo 3

Escrevemos a forma de frações parciais:
3x^2-16x+5(x-7)(x-4)(x+3) = Ax-7 + Bx-4 + Cx+3
Multiplicando ambos os lados por (x-7)(x-4)(x+3), obtemos a identidade
3x^2-16x+5 = A(x-4)(x+3) + B(x-7)(x+3) + C(x-7)(x-4)

Passo 4

Para achar A, B e C basta usar x=7,4,-3:
  1. x=7:
    3cdot7^2-16cdot7+5 =40 = A,(7-4)(7+3) =30A ;Longrightarrow;A=tfrac4030=tfrac43
  2. x=4:
    3cdot4^2-16cdot4+5 =-11 = B,(4-7)(4+3) = -21B ;Longrightarrow;B=tfrac-11-21=tfrac1121
  3. x=-3:
    3cdot(-3)^2-16(-3)+5 =80 = C,(-3-7)(-3-4) =70C ;Longrightarrow;C=tfrac8070=tfrac87

Resposta

3x^2-16x+5x^3-8x^2-5x+84 = tfrac43x-7 ;+;tfrac1121x-4;+;tfrac87x+3 = 43(x-7)+1121(x-4)+87(x+3)

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