Decomponha em frações parciais:
(c) x^2+7 x+10x^3+x^2-12 x-8

Passo 1

A tarefa é decompor em frações parciais a função racional
x^2+7x+10x^3+x^2-12x-8
O grau do numerador ( 2) é menor que o do denominador ( 3), logo já temos uma fração própria. Para fazer a decomposição, precisamos fatorar o denominador em fatores lineares. Como não há raízes racionais (teste de raízes pm 1, pm 2, pm 4, pm 8 falha), concluímos que o polinômio
x^3+x^2-12x-8
tem três raízes reais distintas r1,r2,r3, mas todas irracionais. Vamos chamar genericamente essas raízes de r1,r2,r3.

Passo 2

Escrevemos então a fatoração
x^3+x^2-12x-8 = (x - r1)(x - r2)(x - r3)
e a decomposição em frações parciais sob a forma
x^2+7x+10(x - r1)(x - r2)(x - r3) = Ax - r1 + Bx - r2 + Cx - r3

Passo 3

Para encontrar A, multiplicamos ambos os lados por x - r1 e em seguida fazemos x = r1. Obtemos
A = r1^2 + 7,r1 + 10(r1-r2)(r1-r3)

Passo 4

De modo análogo, para B fazemos xto r2 depois de multiplicar por x-r2, e para C fazemos xto r3 depois de multiplicar por x-r3. Resulta
B = r2^2 + 7,r2 + 10(r2-r1)(r2-r3), C = r3^2 + 7,r3 + 10(r3-r1)(r3-r2)

Resposta

A decomposição em frações parciais é
x^2+7x+10x^3+x^2-12x-8 =Ax-r1 +Bx-r2 +Cx-r3,
onde r1,r2,r3 são as raízes reais distintas de x^3+x^2-12x-8=0 e
A = r1^2 + 7r1 + 10(r1-r2)(r1-r3), B = r2^2 + 7r2 + 10(r2-r1)(r2-r3), C = r3^2 + 7r3 + 10(r3-r1)(r3-r2)

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