Decomponha em frações parciais:
(c) 6 x+6x^2+2 x-15

Passo 1

O enunciado pede para decompor a fração
6x+6x^2+2x-15
em frações parciais. O conteúdo envolve fatorar o denominador e escrever a função como soma de termos simples da forma tfracAx - alpha.

Passo 2

Fatoramos o polinômio do denominador x^2+2x-15. Procuramos dois números cujo produto seja -15 e soma seja 2. Esses números são 5 e -3. Logo,
x^2+2x-15=(x+5)(x-3)

Passo 3

Como o grau do numerador é menor que o do denominador, tentamos uma decomposição do tipo
6x+6(x+5)(x-3) = Ax+5 + Bx-3
Em seguida, colocamos as frações sobre o mesmo denominador:
Ax+5 + Bx-3 = A(x-3) + B(x+5)(x+5)(x-3)
Portanto devemos ter
6x+6 = A(x-3) + B(x+5)

Passo 4

Expandimos o lado direito e agrupamos termos em x:
A(x-3) + B(x+5) = (A+B),x + (-3A +5B)
Comparando coeficientes com 6x+6, obtemos o sistema
A + B = 6, -3A + 5B = 6

Passo 5

Resolvendo o sistema, de A + B = 6 vem A = 6 - B. Substituindo em -3A + 5B = 6:
-3(6 - B) + 5B = 6 Longrightarrow -18 +3B +5B = 6 Longrightarrow 8B = 24 Longrightarrow B = 3
Logo A = 6 - 3 = 3.

Passo 6

Substituindo A e B na decomposição, ficamos com
6x+6x^2+2x-15 = 3x+5 + 3x-3

Resposta

6x+6x^2+2x-15 = 3x+5 + 3x-3

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