Decomponha os quocientes em frações parciais 1/(x*(x^2 + 4))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de frações parciais, que faz parte da matéria de Cálculo ou Álgebra. A gente vai decompor a fração em frações mais simples. Pra isso, vamos precisar entender como quebrar uma fração racional em uma soma de frações cujos denominadores são fatores do denominador original.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os fatores do denominador. Na expressão , o denominador é . Aqui, temos dois fatores: e .

Passo 3

Agora, vamos montar a forma geral da decomposição em frações parciais. Como temos um fator linear ( ) e um fator quadrático irreduzível ( ), a decomposição será:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos com as mesmas potências de devem ser iguais.

Passo 6

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 7

Primeiro, da terceira equação: , então:

Passo 8

Agora, da primeira equação: , e já sabemos que , então:

Passo 9

Da segunda equação: . Então, já está determinado.

Passo 10

Com os valores de , e encontrados, substituímos de volta na decomposição inicial:
Simplificando:

Resposta

A decomposição em frações parciais é:

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